人邮高数 第6章 第6-3-38题
📝 题目
38．求函数 $u=x y^{2}+z^{3}-x y z$ 在点 $P_{0}(1,1,1)$ 处沿哪个方向的方向导数最大？最大值是多少？
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们要求函数
$$
u = x y^{2} + z^{3} - x y z
$$
在点 $P_0(1,1,1)$ 处方向导数的最大值及对应的方向。
第一步：计算梯度
梯度向量由偏导数构成：
$$
\frac{\partial u}{\partial x} = y^{2} - y z
$$
$$
\frac{\partial u}{\partial y} = 2xy - x z
$$
$$
\frac{\partial u}{\partial z} = 3z^{2} - x y
$$
在点 $P_0(1,1,1)$ 处代入：
$$
\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_{P_0} = 1^{2} - 1\cdot 1 = 0
$$
$$
\left.\frac{\partial u}{\partial y}\right|_{P_0} = 2\cdot 1\cdot 1 - 1\cdot 1 = 2 - 1 = 1
$$
$$
\left.\frac{\partial u}{\partial z}\right|_{P_0} = 3\cdot 1^{2} - 1\cdot 1 = 3 - 1 = 2
$$
因此梯度为
$$
\nabla u(P_0) = (0, 1, 2)
$$
第二步：方向导数最大值
方向导数最大值等于梯度的模：
$$
|\nabla u(P_0)| = \sqrt{0^{2} + 1^{2} + 2^{2}} = \sqrt{5}
$$
第三步：方向
方向导数最大的方向就是梯度方向，即单位向量
$$
\frac{\nabla u(P_0)}{|\nabla u(P_0)|} = \left(0, \frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{2}{\sqrt{5}}\right)
$$
最终答案
方向导数最大值是 $\sqrt{5}$，方向为 $(0, \frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{2}{\sqrt{5}})$。
难度：★☆☆☆☆