人邮高数 第6章 第6-3-5题
📝 题目
5．设 $u=\sin x+F(\sin y-\sin x)$ ，其中 $F$ 是可微函数，证明：
$$
\frac{\partial u}{\partial x} \cos y+\frac{\partial u}{\partial y} \cos x=\cos x \cdot \cos y .
$$
💡 答案解析
[AI解答]
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我们已知
$$
u = \sin x + F(\sin y - \sin x),
$$
其中 $F$ 是可微函数。令中间变量
$$
t = \sin y - \sin x,
$$
则
$$
u = \sin x + F(t).
$$
首先计算偏导数 $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ 和 $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial y}$。
对 $x$ 求偏导时，将 $y$ 视为常数：
$$
\frac{\partial u}{\partial x} = \cos x + F'(t) \cdot \frac{\partial t}{\partial x},
$$
而
$$
\frac{\partial t}{\partial x} = -\cos x,
$$
所以
$$
\frac{\partial u}{\partial x} = \cos x - F'(t) \cos x = \cos x \bigl(1 - F'(t)\bigr).
$$
对 $y$ 求偏导时，将 $x$ 视为常数：
$$
\frac{\partial u}{\partial y} = 0 + F'(t) \cdot \frac{\partial t}{\partial y},
$$
而
$$
\frac{\partial t}{\partial y} = \cos y,
$$
所以
$$
\frac{\partial u}{\partial y} = F'(t) \cos y.
$$
现在计算表达式
$$
\frac{\partial u}{\partial x} \cos y + \frac{\partial u}{\partial y} \cos x.
$$
代入上面结果：
$$
\begin{aligned}
&\frac{\partial u}{\partial x} \cos y + \frac{\partial u}{\partial y} \cos x \\
&= \bigl[\cos x (1 - F'(t))\bigr] \cos y + \bigl[F'(t) \cos y\bigr] \cos x \\
&= \cos x \cos y (1 - F'(t)) + \cos x \cos y \, F'(t) \\
&= \cos x \cos y \bigl(1 - F'(t) + F'(t)\bigr) \\
&= \cos x \cos y.
\end{aligned}
$$
因此等式成立，证毕。
难度：★★☆☆☆