人邮高数 第6章 第6-4-14题

[AI解答]

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题目：设曲面 $\Sigma: z = x e^{\frac{y}{x}}$，点 $M(x, y, z) \in \Sigma$，试证曲面 $\Sigma$ 在点 $M$ 处的法线垂直于直线 $OM$（其中 $O$ 为坐标原点）。

证明：

将曲面方程改写为隐函数形式：
$$
F(x, y, z) = z - x e^{\frac{y}{x}} = 0.
$$

曲面在点 $M(x, y, z)$ 处的法向量为梯度：
$$
\mathbf{n} = \nabla F = \left( \frac{\partial F}{\partial x}, \frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial F}{\partial z} \right).
$$

先计算偏导数：
$$
\frac{\partial F}{\partial x} = -\left( e^{\frac{y}{x}} + x \cdot e^{\frac{y}{x}} \cdot \left(-\frac{y}{x^2}\right) \right)
= - e^{\frac{y}{x}} + \frac{y}{x} e^{\frac{y}{x}} = e^{\frac{y}{x}} \left( \frac{y}{x} - 1 \right).
$$
$$
\frac{\partial F}{\partial y} = -x e^{\frac{y}{x}} \cdot \frac{1}{x} = - e^{\frac{y}{x}}.
$$
$$
\frac{\partial F}{\partial z} = 1.
$$

因此法向量为：
$$
\mathbf{n} = \left( e^{\frac{y}{x}} \left( \frac{y}{x} - 1 \right), \; - e^{\frac{y}{x}}, \; 1 \right).
$$

直线 $OM$ 的方向向量为 $\overrightarrow{OM} = (x, y, z)$。

要证明法线垂直于直线 $OM$，只需证明法向量与方向向量的点积为零：
$$
\mathbf{n} \cdot \overrightarrow{OM} = e^{\frac{y}{x}} \left( \frac{y}{x} - 1 \right) \cdot x + (- e^{\frac{y}{x}}) \cdot y + 1 \cdot z.
$$

化简第一项：
$$
e^{\frac{y}{x}} \left( \frac{y}{x} - 1 \right) x = e^{\frac{y}{x}} (y - x).
$$

于是：
$$
\mathbf{n} \cdot \overrightarrow{OM} = e^{\frac{y}{x}}(y - x) - y e^{\frac{y}{x}} + z.
$$
$$
= e^{\frac{y}{x}} y - e^{\frac{y}{x}} x - y e^{\frac{y}{x}} + z = - x e^{\frac{y}{x}} + z.
$$

由于点 $M$ 在曲面上，满足 $z = x e^{\frac{y}{x}}$，代入得：
$$
\mathbf{n} \cdot \overrightarrow{OM} = - x e^{\frac{y}{x}} + x e^{\frac{y}{x}} = 0.
$$

因此法向量与 $OM$ 方向向量垂直，即法线垂直于直线 $OM$。证毕。

难度：★★☆☆☆