人邮高数 第6章 第6-4-20题

[AI解答]

[AI解答]
设三个正数分别为 $x, y, z$，由题意有
$$
x + y + z = a, \quad x>0,\ y>0,\ z>0.
$$
目标是最大化乘积
$$
P = xyz.
$$
利用约束消去一个变量，例如令 $z = a - x - y$，则
$$
P(x, y) = xy(a - x - y), \quad x>0,\ y>0,\ x+y$$
先求驻点，计算偏导数：
$$
\frac{\partial P}{\partial x} = y(a - x - y) - xy = y(a - 2x - y),
$$
$$
\frac{\partial P}{\partial y} = x(a - x - y) - xy = x(a - x - 2y).
$$
令两个偏导数为零，且 $x>0, y>0$，得方程组
$$
\begin{cases}
y(a - 2x - y) = 0,\\
x(a - x - 2y) = 0.
\end{cases}
$$
由于 $x>0, y>0$，可约去 $x, y$，得到
$$
a - 2x - y = 0, \quad a - x - 2y = 0.
$$
解此线性方程组：
由第一式得 $y = a - 2x$，代入第二式：
$$
a - x - 2(a - 2x) = 0 \implies a - x - 2a + 4x = 0 \implies -a + 3x = 0 \implies x = \frac{a}{3}.
$$
于是
$$
y = a - 2\cdot\frac{a}{3} = \frac{a}{3}, \quad z = a - x - y = a - \frac{a}{3} - \frac{a}{3} = \frac{a}{3}.
$$
因此唯一驻点为 $\left(\frac{a}{3}, \frac{a}{3}, \frac{a}{3}\right)$。

由实际意义，当变量趋近边界（如 $x \to 0$ 或 $y \to 0$ 或 $x+y \to a$）时，乘积趋于零，而内部驻点处乘积为正，故该点为极大值点，也是最大值点。

因此，当三个正数相等，即
$$
x = y = z = \frac{a}{3}
$$
时，乘积最大，最大值为
$$
P_{\max} = \left(\frac{a}{3}\right)^3 = \frac{a^3}{27}.
$$

难度：★★☆☆☆