人邮高数 第1章 第1-6-*6题

[AI解答]

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**（1）当 $x \rightarrow 0$ 时，$\displaystyle y=\frac{1+x}{x}$ 为无穷大**

证明：
根据无穷大的定义：对任意给定的 $M > 0$，存在 $\delta > 0$，使得当 $0 < |x| < \delta$ 时，有 $|y| > M$。

由于
$$
|y| = \left| \frac{1+x}{x} \right| = \frac{|1+x|}{|x|}
$$
当 $x$ 充分接近 $0$ 时，$1+x$ 接近 $1$，因此可取 $\displaystyle |x| < \frac12$，此时 $\displaystyle |1+x| > 1 - |x| > \frac12$，于是
$$
|y| > \frac{1/2}{|x|} = \frac{1}{2|x|}
$$
要使 $|y| > M$，只需 $\displaystyle\frac{1}{2|x|} > M$，即 $\displaystyle |x| < \frac{1}{2M}$。
取 $\displaystyle \delta = \min\left\{\frac12,\ \frac{1}{2M}\right\}$，则当 $0<|x|<\delta$ 时，有 $|y| > M$。
由定义，$y$ 为 $x \to 0$ 时的无穷大。

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**（2）当 $x \rightarrow 0^{+}$时，$\displaystyle y=x \sin \frac{1}{\sqrt{x}}$ 为无穷小**

证明：
根据无穷小的定义：对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得当 $0 < x < \delta$ 时，有 $|y| < \varepsilon$。

由于对任意实数，$|\sin t| \leq 1$，因此
$$
|y| = \left| x \sin \frac{1}{\sqrt{x}} \right| \leq x \cdot 1 = x
$$
要使 $|y| < \varepsilon$，只需 $x < \varepsilon$。
取 $\delta = \varepsilon$，则当 $0 < x < \delta$ 时，有 $|y| \leq x < \varepsilon$。
由定义，$y$ 为 $x \to 0^{+}$ 时的无穷小。