人邮高数 第1章 第1-6-*7题

[AI解答]

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问题分析：
我们要判断函数 $y = x \cos x$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 上是否有界，以及当 $x \to \infty$ 时它是否为无穷大。

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1. 判断函数是否有界

函数 $y = x \cos x$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 上是无界的。

理由：
考虑点列 $x_n = 2n\pi$，此时 $\cos(2n\pi) = 1$，于是
$$
y(x_n) = 2n\pi \cdot 1 = 2n\pi.
$$
当 $n \to \infty$ 时，$2n\pi \to +\infty$，因此函数值可以任意大，故无上界。
同样，取 $x_n = (2n+1)\pi$，此时 $\cos((2n+1)\pi) = -1$，得
$$
y(x_n) = -(2n+1)\pi \to -\infty,
$$
故也无下界。因此函数在全体实数上无界。

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2. 判断当 $x \to \infty$ 时是否为无穷大

当 $x \to \infty$ 时，$y = x \cos x$ 不是无穷大。

理由：
无穷大的定义是：对任意 $M>0$，存在 $X>0$，使得当 $|x|>X$ 时，恒有 $|f(x)| > M$。
但这里我们可以找到一列点使得函数值保持为 0，从而破坏这个条件。
取 $x_n = \displaystyle{\left(n+\frac12\right)\pi}$，此时 $\displaystyle \cos\left(\left(n+\frac12\right)\pi\right) = 0$，于是
$$
y(x_n) = \left(n+\frac12\right)\pi \cdot 0 = 0.
$$
当 $n \to \infty$ 时，$x_n \to \infty$，但函数值始终为 0，并不趋向无穷大。因此 $x \to \infty$ 时函数不是无穷大。

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最终答案：
- 函数在 $(-\infty, +\infty)$ 上无界；
- 当 $x \to \infty$ 时，函数不是无穷大。