人邮高数 第1章 第1-6-*8题
📝 题目
＊8．求曲线 $\displaystyle f(x)=\frac{x^{2}+1}{x+1}(x \neq-1)$ 的斜渐近线方程．
💡 答案解析
[AI解答]
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解：
要求曲线 $f(x)=\dfrac{x^{2}+1}{x+1}$ 的斜渐近线方程，设斜渐近线为 $y = kx + b$，其中
$$
k = \displaystyle{}\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}, \quad b = \displaystyle{}\lim_{x \to \infty} \bigl[f(x) - kx\bigr].
$$
首先计算 $k$：
$$
k = \displaystyle{}\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}+1}{x+1}}{x}
= \displaystyle{}\lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}+1}{x(x+1)}
= \displaystyle{}\lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}+1}{x^{2}+x}.
$$
分子分母同除以 $x^{2}$：
$$
k = \displaystyle{}\lim_{x \to \infty} \frac{1+\frac{1}{x^{2}}}{1+\frac{1}{x}} = \frac{1+0}{1+0} = 1.
$$
再计算 $b$：
$$
b = \displaystyle{}\lim_{x \to \infty} \left[ \frac{x^{2}+1}{x+1} - 1 \cdot x \right]
= \displaystyle{}\lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^{2}+1}{x+1} - x \right).
$$
通分：
$$
\frac{x^{2}+1}{x+1} - x = \frac{x^{2}+1 - x(x+1)}{x+1}
= \frac{x^{2}+1 - x^{2} - x}{x+1}
= \frac{1 - x}{x+1}.
$$
因此
$$
b = \displaystyle{}\lim_{x \to \infty} \frac{1 - x}{x+1}
= \displaystyle{}\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - 1}{1 + \frac{1}{x}} = \frac{0 - 1}{1 + 0} = -1.
$$
所以斜渐近线方程为
$$
\boxed{y = x - 1}.
$$