人邮高数 第6章 第6-4-7题
📝 题目
7．求空间曲线 $\left\{\begin{array}{l}x-y-z=1, \\ x^{3}-y^{2}-z^{3}=1\end{array}\right.$ 在点（1，1，－1）处的切线方程．
💡 答案解析
[AI解答]
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首先，空间曲线由两个曲面方程的交线给出，因此其切线方向向量同时垂直于两个曲面在该点的法向量。
第一步：将曲线视为两个隐式方程定义的曲面交线：
$$
F(x,y,z)=x-y-z-1=0,\quad G(x,y,z)=x^{3}-y^{2}-z^{3}-1=0.
$$
第二步：求两个曲面在点 $P(1,1,-1)$ 处的梯度（即法向量）。
对于 $F$：
$$
\nabla F = (1,\,-1,\,-1).
$$
在点 $P$ 处：
$$
\nabla F(1,1,-1) = (1,\,-1,\,-1).
$$
对于 $G$：
$$
\nabla G = (3x^{2},\,-2y,\,-3z^{2}).
$$
在点 $P$ 处：
$$
\nabla G(1,1,-1) = (3\cdot 1^{2},\,-2\cdot 1,\,-3\cdot (-1)^{2}) = (3,\,-2,\,-3).
$$
第三步：曲线的切向量 $\mathbf{T}$ 同时垂直于这两个法向量，因此取它们的叉积：
$$
\mathbf{T} = \nabla F \times \nabla G =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
1 & -1 & -1 \\
3 & -2 & -3
\end{vmatrix}.
$$
计算行列式：
$$
\mathbf{i}\cdot((-1)(-3) - (-1)(-2)) - \mathbf{j}\cdot((1)(-3) - (-1)(3)) + \mathbf{k}\cdot((1)(-2) - (-1)(3)).
$$
逐步计算：
- $i$ 分量：$(-1)(-3)=3$，减去 $(-1)(-2)=2$，得 $3-2=1$。
- $j$ 分量（注意负号）：先算 $(1)(-3) = -3$，减去 $(-1)(3) = -3$，得 $-3 - (-3) = 0$，前面有负号，所以 $j$ 分量为 $-0 = 0$。
- $k$ 分量：$(1)(-2) = -2$，减去 $(-1)(3) = -3$，得 $-2 - (-3) = 1$。
因此：
$$
\mathbf{T} = (1,\,0,\,1).
$$
第四步：切线方程（点向式）为：
$$
\frac{x-1}{1} = \frac{y-1}{0} = \frac{z+1}{1}.
$$
注意分母为0表示该方向分量不变，即 $y=1$ 恒定。因此切线方程可写为：
$$
\begin{cases}
x-1 = z+1, \\
y = 1.
\end{cases}
$$
或参数式：
$$
x = 1 + t,\quad y = 1,\quad z = -1 + t.
$$
难度评级：★★☆☆☆
（涉及隐函数求梯度、叉积求切向量，步骤清晰但计算简单，属于基础空间解析几何题。）