人邮高数 第6章 第6-4-8题
📝 题目
8．求空间曲线 $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+z^{2}=6, \\ z=x^{2}+y^{2}\end{array}\right.$ 在点 $(1,1,2)$ 处的切线方程．
💡 答案解析
[AI解答]
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我们要求空间曲线
$$
\begin{cases}
x^{2}+y^{2}+z^{2}=6,\\
z=x^{2}+y^{2}
\end{cases}
$$
在点 $(1,1,2)$ 处的切线方程。
第一步：将曲线视为两曲面的交线
第一个方程是球面，第二个是旋转抛物面。交线参数化不易直接得到，因此采用隐函数求导法求切向量。
第二步：求曲线切向量
设曲线参数为 $t$，对两方程两边关于 $t$ 求导：
对第一个方程：
$$
\displaystyle{\frac{d}{dt}(x^{2}+y^{2}+z^{2})}=2x x' + 2y y' + 2z z' =0
$$
代入点 $(1,1,2)$：
$$
2\cdot 1\cdot x' + 2\cdot 1\cdot y' + 2\cdot 2\cdot z' = 0
$$
即
$$
2x' + 2y' + 4z' = 0 \quad\Rightarrow\quad x' + y' + 2z' = 0 \tag{1}
$$
对第二个方程：
$$
\displaystyle{\frac{d}{dt}(z)}= \frac{d}{dt}(x^{2}+y^{2}) \quad\Rightarrow\quad z' = 2x x' + 2y y'
$$
代入点 $(1,1,2)$：
$$
z' = 2\cdot 1\cdot x' + 2\cdot 1\cdot y' = 2x' + 2y' \tag{2}
$$
第三步：解出方向比
将(2)代入(1)：
$$
x' + y' + 2(2x' + 2y') = 0
$$
$$
x' + y' + 4x' + 4y' = 0
$$
$$
5x' + 5y' = 0 \quad\Rightarrow\quad y' = -x'
$$
再代回(2)：
$$
z' = 2x' + 2(-x') = 0
$$
因此切向量可取为 $(x', y', z') = (1, -1, 0)$ 或任意非零倍数。
第四步：写出切线方程
过点 $(1,1,2)$，方向向量 $(1,-1,0)$，切线对称式方程为：
$$
\frac{x-1}{1} = \frac{y-1}{-1} = \frac{z-2}{0}
$$
其中分母为0表示 $z=2$ 为常数。
因此切线方程可写为：
$$
\begin{cases}
\displaystyle{\frac{x-1}{1} = \frac{y-1}{-1}},\\
z = 2
\end{cases}
$$
最终答案：
$$
\boxed{\frac{x-1}{1} = \frac{y-1}{-1},\quad z=2}
$$
难度：★★☆☆☆