人邮高数 第6章 第6-4-9题

[AI解答]

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题目：证明螺旋线
$$
x = a \cos t,\quad y = a \sin t,\quad z = b t
$$
上任一点处的切线都与 $z$ 轴形成定角。

证明：

首先，写出曲线的参数方程：
$$
\mathbf{r}(t) = (a\cos t,\; a\sin t,\; bt)
$$

对参数 $t$ 求导，得到切向量：
$$
\mathbf{r}'(t) = \left( -a\sin t,\; a\cos t,\; b \right)
$$

$z$ 轴的方向向量可以取为：
$$
\mathbf{k} = (0,0,1)
$$

设切线与 $z$ 轴的夹角为 $\theta$，则两向量夹角的余弦为：
$$
\cos\theta = \frac{\mathbf{r}'(t) \cdot \mathbf{k}}{|\mathbf{r}'(t)| \cdot |\mathbf{k}|}
$$

计算点积：
$$
\mathbf{r}'(t) \cdot \mathbf{k} = (-a\sin t)\cdot 0 + (a\cos t)\cdot 0 + b\cdot 1 = b
$$

计算切向量的模：
$$
|\mathbf{r}'(t)| = \sqrt{(-a\sin t)^2 + (a\cos t)^2 + b^2}
= \sqrt{a^2(\sin^2 t + \cos^2 t) + b^2}
= \sqrt{a^2 + b^2}
$$

而 $|\mathbf{k}| = 1$，因此：
$$
\cos\theta = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}
$$

由于 $a$ 和 $b$ 是常数，$\cos\theta$ 为常数，因此夹角 $\theta$ 为定值，与参数 $t$ 无关。

结论：螺旋线上任意一点处的切线与 $z$ 轴的夹角恒为 $\arccos\left(\displaystyle\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)$，即定角。

难度：★★☆☆☆