人邮高数 第7章 第7-1-27题
📝 题目
27．求下列平面图形 $D$ 的形心。
（1）$D$ 由抛物线 $y=\sqrt{2 x}$ 与直线 $x=1, y=0$ 所围成；
（2）$D$ 由心形线 $r=1+\cos \theta$ 所围成；
（3）$D$ 由右半椭圆 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(x \geqslant 0)$ 与 $y$ 轴所围成．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
（1） 区域 $D$ 由 $y=\sqrt{2x}$、$x=1$、$y=0$ 围成。
先求面积：
$$
A = \displaystyle{\int_{0}^{1} \sqrt{2x} \, dx}
= \sqrt{2} \displaystyle{\int_{0}^{1} x^{1/2} \, dx}
= \sqrt{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3}.
$$
形心坐标公式：
$$
\bar{x} = \frac{1}{A} \displaystyle{\int_{0}^{1} x \cdot \sqrt{2x} \, dx}
= \frac{1}{A} \sqrt{2} \displaystyle{\int_{0}^{1} x^{3/2} \, dx}
= \frac{1}{A} \sqrt{2} \cdot \frac{2}{5}
= \frac{3}{2\sqrt{2}} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{5} = \frac{3}{5}.
$$
$$
\bar{y} = \frac{1}{A} \displaystyle{\int_{0}^{1} \frac{1}{2} (\sqrt{2x})^{2} \, dx}
= \frac{1}{A} \displaystyle{\int_{0}^{1} x \, dx}
= \frac{1}{A} \cdot \frac{1}{2}
= \frac{3}{2\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{4\sqrt{2}}.
$$
所以形心为 $\left( \dfrac{3}{5},\ \dfrac{3}{4\sqrt{2}} \right)$。
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（2） 心形线 $r = 1 + \cos\theta$，由对称性 $\bar{y}=0$。
面积：
$$
A = \frac{1}{2} \displaystyle{\int_{0}^{2\pi} (1+\cos\theta)^2 \, d\theta}
= \frac{1}{2} \displaystyle{\int_{0}^{2\pi} (1 + 2\cos\theta + \cos^2\theta) \, d\theta}.
$$
利用 $\cos^2\theta = \frac{1+\cos 2\theta}{2}$，得：
$$
A = \frac{1}{2} \left[ 2\pi + 0 + \frac{1}{2}\cdot 2\pi \right] = \frac{1}{2} \cdot 3\pi = \frac{3\pi}{2}.
$$
$\bar{x}$ 计算：
$$
\bar{x} = \frac{1}{A} \cdot \frac{1}{3} \displaystyle{\int_{0}^{2\pi} r^3 \cos\theta \, d\theta}
= \frac{2}{3\pi} \cdot \frac{1}{3} \displaystyle{\int_{0}^{2\pi} (1+\cos\theta)^3 \cos\theta \, d\theta}.
$$
展开 $(1+\cos\theta)^3 = 1+3\cos\theta+3\cos^2\theta+\cos^3\theta$，乘 $\cos\theta$ 后积分，利用正交性，仅常数项与$\cos^2\theta$项贡献：
$$
\int_{0}^{2\pi} \cos^2\theta \, d\theta = \pi,\quad \int_{0}^{2\pi} 3\cos^2\theta \, d\theta = 3\pi.
$$
故积分值为 $ \pi + 3\pi = 4\pi$，于是：
$$
\bar{x} = \frac{2}{9\pi} \cdot 4\pi = \frac{8}{9}.
$$
形心为 $\left( \dfrac{8}{9}, 0 \right)$。
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（3） 右半椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,\ x\ge 0$。
面积：
$$
A = \frac{1}{2} \pi a b.
$$
由对称性 $\bar{y}=0$。
$\bar{x}$ 计算：
$$
\bar{x} = \frac{1}{A} \displaystyle{\int_{0}^{a} x \cdot 2b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}} \, dx}.
$$
令 $x = a\sin t$，则 $dx = a\cos t\, dt$，$x$ 从 $0$ 到 $a$ 对应 $t$ 从 $0$ 到 $\frac{\pi}{2}$：
$$
\bar{x} = \frac{2}{\pi a b} \displaystyle{\int_{0}^{\pi/2} (a\sin t) \cdot (b\cos t) \cdot (a\cos t) \, dt}
= \frac{2a}{\pi} \displaystyle{\int_{0}^{\pi/2} \sin t \cos^2 t \, dt}.
$$
计算积分：
$$
\int_{0}^{\pi/2} \sin t \cos^2 t \, dt = \left[-\frac{\cos^3 t}{3}\right]_{0}^{\pi/2} = \frac{1}{3}.
$$
因此：
$$
\bar{x} = \frac{2a}{\pi} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2a}{3\pi}.
$$
形心为 $\left( \dfrac{2a}{3\pi},\ 0 \right)$。
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难度评级：★★★☆☆