人邮高数 第7章 第7-1-26题

[AI解答]

[AI解答]
我们要求的是抛物柱面 $ z = \frac{1}{2} x^{2} $ 被限制在区域
$$
0 \le y \le x,\quad 0 \le x \le 1
$$
内的那部分曲面的面积。
由于曲面方程中 $ z $ 只依赖于 $ x $，且 $ y $ 是自由的，因此曲面面积公式为
$$
S = \iint_{D} \sqrt{1 + \left( \frac{\partial z}{\partial x} \right)^{2} + \left( \frac{\partial z}{\partial y} \right)^{2}} \, \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y
$$
这里
$$
\frac{\partial z}{\partial x} = x,\quad \frac{\partial z}{\partial y} = 0
$$
所以被积函数为
$$
\sqrt{1 + x^{2}}
$$
区域 $ D $ 由
$$
0 \le y \le x,\quad 0 \le x \le 1
$$
给出。因此面积
$$
S = \int_{x=0}^{1} \int_{y=0}^{x} \sqrt{1 + x^{2}} \,\mathrm{d}y \,\mathrm{d}x
$$
先对 $ y $ 积分：
$$
\int_{0}^{x} \mathrm{d}y = x
$$
于是
$$
S = \int_{0}^{1} x \sqrt{1 + x^{2}} \,\mathrm{d}x
$$
令 $ u = 1 + x^{2} $，则 $ \mathrm{d}u = 2x \,\mathrm{d}x $，即 $ x\,\mathrm{d}x = \frac{1}{2}\mathrm{d}u $。
当 $ x=0 $ 时 $ u=1 $，当 $ x=1 $ 时 $ u=2 $，所以
$$
S = \int_{1}^{2} \sqrt{u} \cdot \frac{1}{2} \,\mathrm{d}u
= \frac{1}{2} \int_{1}^{2} u^{1/2} \,\mathrm{d}u
= \frac{1}{2} \cdot \left[ \frac{2}{3} u^{3/2} \right]_{1}^{2}
= \frac{1}{3} \left( 2^{3/2} - 1^{3/2} \right)
$$
即
$$
S = \frac{1}{3} \left( 2\sqrt{2} - 1 \right)
$$

难度：★★☆☆☆