人邮高数 第7章 第7-1-25题
📝 题目
25．求圆锥面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 被柱面 $z^{2}=2 x$ 所割下的那部分曲面的面积．
💡 答案解析
[AI解答]
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问题：求圆锥面 $ z = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $ 被柱面 $ z^{2} = 2x $ 所割下的那部分曲面的面积。
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步骤1：确定曲面与投影区域
曲面为
$$
z = \sqrt{x^{2} + y^{2}}, \quad (x, y) \in D
$$
其中 $ D $ 是曲面在 $ xOy $ 平面上的投影区域。
柱面方程 $ z^{2} = 2x $ 与圆锥面相交，代入 $ z = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $ 得
$$
x^{2} + y^{2} = 2x \quad \Rightarrow \quad (x-1)^{2} + y^{2} = 1
$$
因此，在 $ xOy $ 平面上，投影区域 $ D $ 是圆盘
$$
(x-1)^{2} + y^{2} \leq 1
$$
注意：由于 $ z \geq 0 $，且柱面 $ z^{2} = 2x $ 要求 $ 2x \geq 0 $，即 $ x \geq 0 $，这与此圆盘一致。
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步骤2：曲面面积公式
曲面 $ z = f(x, y) $ 的面积公式为
$$
S = \iint_{D} \sqrt{1 + \left( \frac{\partial z}{\partial x} \right)^{2} + \left( \frac{\partial z}{\partial y} \right)^{2}} \, \mathrm{d}x\mathrm{d}y
$$
对于 $ z = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $，计算偏导数：
$$
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}, \quad
\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}
$$
于是
$$
1 + \left( \frac{\partial z}{\partial x} \right)^{2} + \left( \frac{\partial z}{\partial y} \right)^{2}
= 1 + \frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}} = 1 + 1 = 2
$$
所以被积函数为常数 $ \sqrt{2} $。
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步骤3：转化为极坐标计算面积
面积
$$
S = \iint_{D} \sqrt{2} \, \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \sqrt{2} \cdot \text{Area}(D)
$$
区域 $ D $ 是圆盘 $(x-1)^{2} + y^{2} \leq 1$，半径为 1，面积为 $\pi \cdot 1^{2} = \pi$。
因此
$$
S = \sqrt{2} \cdot \pi
$$
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步骤4：结论
所求曲面面积为
$$
\boxed{\sqrt{2}\pi}
$$
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难度评级：★★☆☆☆
（主要考察曲面面积公式与投影区域识别，计算简单，但需注意投影区域为平移圆盘。）