人邮高数 第7章 第7-2-13题

[AI解答]

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（1）物体的质量

质量公式为
$$
M = \iiint\limits_{\Omega} \rho \, dV
$$
其中区域 $\Omega$ 由 $z=0$ 到抛物面 $z=3-x^{2}-y^{2}$，且 $x$ 与 $y$ 在 $[-1,1]$ 内，同时要求抛物面在平面上方，即 $3-x^{2}-y^{2} \ge 0$。在 $|x|\le 1,|y|\le 1$ 时显然成立。
因此
$$
M = \rho \int_{x=-1}^{1} \int_{y=-1}^{1} \int_{z=0}^{3-x^{2}-y^{2}} dz\,dy\,dx
= \rho \int_{-1}^{1} \int_{-1}^{1} (3-x^{2}-y^{2})\,dy\,dx
$$
先对 $y$ 积分：
$$
\int_{-1}^{1} (3-x^{2}-y^{2})\,dy = \left[ (3-x^{2})y - \frac{y^{3}}{3} \right]_{y=-1}^{1}
= 2(3-x^{2}) - \frac{2}{3} = 6-2x^{2} - \frac{2}{3} = \frac{16}{3} - 2x^{2}
$$
再对 $x$ 积分：
$$
M = \rho \int_{-1}^{1} \left( \frac{16}{3} - 2x^{2} \right) dx
= \rho \left[ \frac{16}{3}x - \frac{2}{3}x^{3} \right]_{-1}^{1}
= \rho \left( \frac{32}{3} - \frac{4}{3} \right) = \rho \cdot \frac{28}{3}
$$
所以
$$
\boxed{M = \frac{28}{3}\rho}
$$

（2）物体的质心

由于区域关于 $x=0$ 和 $y=0$ 对称，且密度均匀，质心坐标
$$
\bar{x}=0,\quad \bar{y}=0
$$
只需计算 $\bar{z}$：
$$
\bar{z} = \frac{1}{M} \iiint_{\Omega} z \rho\,dV
= \frac{\rho}{M} \int_{-1}^{1}\int_{-1}^{1} \int_{0}^{3-x^{2}-y^{2}} z\,dz\,dy\,dx
$$
先对 $z$ 积分：
$$
\int_{0}^{3-x^{2}-y^{2}} z\,dz = \frac{1}{2}(3-x^{2}-y^{2})^{2}
$$
于是
$$
\bar{z} = \frac{\rho}{M} \cdot \frac{1}{2} \int_{-1}^{1}\int_{-1}^{1} (3-x^{2}-y^{2})^{2}\,dy\,dx
$$
展开被积函数：
$$
(3-x^{2}-y^{2})^{2} = 9 + x^{4}+y^{4} -6x^{2} -6y^{2} + 2x^{2}y^{2}
$$
先对 $y$ 积分，利用对称性：
$$
\int_{-1}^{1} y^{2}\,dy = \frac{2}{3},\quad \int_{-1}^{1} y^{4}\,dy = \frac{2}{5},\quad \int_{-1}^{1} 1\,dy = 2
$$
所以
$$
\int_{-1}^{1} (3-x^{2}-y^{2})^{2}\,dy = 2(9-6x^{2}+x^{4}) -6\cdot\frac{2}{3} + \frac{2}{5} + 2x^{2}\cdot\frac{2}{3}
$$
仔细逐项计算：
常数项：$9\cdot 2 = 18$
$-6x^{2}$ 项：$-6x^{2}\cdot 2 = -12x^{2}$
$x^{4}$ 项：$x^{4}\cdot 2 = 2x^{4}$
$-6y^{2}$ 积分：$-6\cdot \frac{2}{3} = -4$
$y^{4}$ 积分：$\frac{2}{5}$
$2x^{2}y^{2}$ 积分：$2x^{2}\cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{3}x^{2}$

合并常数：$18 - 4 + \frac{2}{5} = 14 + \frac{2}{5} = \frac{72}{5}$
合并 $x^{2}$ 系数：$-12x^{2} + \frac{4}{3}x^{2} = -\frac{32}{3}x^{2}$
加上 $2x^{4}$，所以
$$
\int_{-1}^{1} (3-x^{2}-y^{2})^{2}\,dy = 2x^{4} - \frac{32}{3}x^{2} + \frac{72}{5}
$$
再对 $x$ 从 $-1$ 到 $1$ 积分：
$$
\int_{-1}^{1} 2x^{4}\,dx = 2\cdot\frac{2}{5} = \frac{4}{5}
$$
$$
\int_{-1}^{1} -\frac{32}{3}x^{2}\,dx = -\frac{32}{3}\cdot\frac{2}{3} = -\frac{64}{9}
$$
$$
\int_{-1}^{1} \frac{72}{5}\,dx = \frac{72}{5}\cdot 2 = \frac{144}{5}
$$
总和为
$$
\frac{4}{5} + \frac{144}{5} - \frac{64}{9} = \frac{148}{5} - \frac{64}{9}
= \frac{1332 - 320}{45} = \frac{1012}{45}
$$
因此
$$
\bar{z} = \frac{\rho}{M}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1012}{45}
= \frac{\rho}{\frac{28}{3}\rho}\cdot\frac{506}{45}
= \frac{3}{28}\cdot\frac{506}{45}
= \frac{1518}{1260} = \frac{253}{210}
$$
所以质心为
$$
\boxed{(0,\,0,\,\frac{253}{210})}
$$

**（3）对 $z$ 轴的转动惯量**

公式：
$$
I_{z} = \iiint_{\Omega} \rho (x^{2}+y^{2})\,dV
$$
先对 $z$ 积分：
$$
I_{z} = \rho \int_{-1}^{1}\int_{-1}^{1} (x^{2}+y^{2})(3-x^{2}-y^{2})\,dy\,dx
$$
展开：
$$
(x^{2}+y^{2})(3-x^{2}-y^{2}) = 3x^{2}+3y^{2} - x^{4} - 2x^{2}y^{2} - y^{4}
$$
先对 $y$ 积分，利用对称性：
$$
\int_{-1}^{1} 3x^{2}\,dy = 6x^{2}
$$
$$
\int_{-1}^{1} 3y^{2}\,dy = 3\cdot\frac{2}{3}=2
$$
$$
\int_{-1}^{1} -x^{4}\,dy = -2x^{4}
$$
$$
\int_{-1}^{1} -2x^{2}y^{2}\,dy = -2x^{2}\cdot\frac{2}{3} = -\frac{4}{3}x^{2}
$$
$$
\int_{-1}^{1} -y^{4}\,dy = -\frac{2}{5}
$$
合并关于 $y$ 的积分结果：
常数项：$2 - \frac{2}{5} = \frac{8}{5}$
$x^{2}$ 项：$6x^{2} - \frac{4}{3}x^{2} = \frac{14}{3}x^{2}$
$x^{4}$ 项：$-2x^{4}$
所以
$$
\int_{-1}^{1} (x^{2}+y^{2})(3-x^{2}-y^{2})\,dy = -2x^{4} + \frac{14}{3}x^{2} + \frac{8}{5}
$$
再对 $x$ 积分：
$$
\int_{-1}^{1} -2x^{4}\,dx = -2\cdot\frac{2}{5} = -\frac{4}{5}
$$
$$
\int_{-1}^{1} \frac{14}{3}x^{