人邮高数 第7章 第7-2-6题
📝 题目
6．计算三重积分 $I=\displaystyle{\iiint}_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} v$ ，其中区域 $\Omega$ 由平面曲线 $\left\{\begin{array}{l}y^{2}=2 z, \\ x=0\end{array}\right.$ 绕 $z$ 轴旋转一周而成的曲面与平面 $z=2, z=8$ 所围成。
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
第一步：分析区域与坐标系选择
曲线 $\begin{cases} y^2 = 2z, \\ x = 0 \end{cases}$ 绕 $z$ 轴旋转一周，得到旋转抛物面方程为
$$
x^2 + y^2 = 2z.
$$
区域 $\Omega$ 由该旋转抛物面与平面 $z=2$、$z=8$ 围成。由于被积函数 $x^2 + y^2$ 和区域都具有旋转对称性，采用柱坐标 $(r,\theta,z)$，其中
$$
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad z = z,\quad \mathrm{d}v = r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}z.
$$
在柱坐标下，被积函数变为
$$
x^2 + y^2 = r^2.
$$
旋转抛物面方程化为
$$
r^2 = 2z.
$$
第二步：确定积分限
在 $z$ 方向，平面 $z=2$ 到 $z=8$。
对于固定的 $z$，$r$ 从旋转抛物面 $r=0$ 到 $r=\sqrt{2z}$。
角度 $\theta$ 从 $0$ 到 $2\pi$。
因此积分区域为
$$
\Omega: \quad 0 \le \theta \le 2\pi,\quad 2 \le z \le 8,\quad 0 \le r \le \sqrt{2z}.
$$
第三步：化为累次积分
$$
I = \iiint_{\Omega} r^2 \cdot r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}z
= \int_{\theta=0}^{2\pi} \mathrm{d}\theta \int_{z=2}^{8} \mathrm{d}z \int_{r=0}^{\sqrt{2z}} r^3 \,\mathrm{d}r.
$$
第四步：逐层积分计算
先对 $r$ 积分：
$$
\int_{0}^{\sqrt{2z}} r^3 \,\mathrm{d}r = \left. \frac{r^4}{4} \right|_{0}^{\sqrt{2z}} = \frac{(2z)^2}{4} = \frac{4z^2}{4} = z^2.
$$
再对 $z$ 积分：
$$
\int_{z=2}^{8} z^2 \,\mathrm{d}z = \left. \frac{z^3}{3} \right|_{2}^{8} = \frac{512}{3} - \frac{8}{3} = \frac{504}{3} = 168.
$$
最后对 $\theta$ 积分：
$$
\int_{0}^{2\pi} \mathrm{d}\theta = 2\pi.
$$
因此
$$
I = 2\pi \times 168 = 336\pi.
$$
第五步：最终结果
$$
\boxed{336\pi}
$$
难度评级：★★☆☆☆
（中等偏易，主要考察旋转体区域在柱坐标下的积分，计算量不大，但需正确建立积分限。）