人邮高数 第7章 第7-3-5题

[AI解答]

[AI解答]

我们要求曲线积分
$$
\int_{L} x y \, \mathrm{d}s
$$
其中 $L$ 是椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 在第一象限的部分（即 $x \geq 0, y \geq 0$）。

步骤1：参数化曲线
采用椭圆的参数方程：
$$
x = a \cos t,\quad y = b \sin t,\quad t \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right]
$$
此时 $x \geq 0, y \geq 0$ 对应 $t$ 从 $0$ 到 $\frac{\pi}{2}$。

**步骤2：计算弧长微元 $\mathrm{d}s$**
$$
\mathrm{d}s = \sqrt{\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)^2 + \left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)^2} \, \mathrm{d}t
$$
其中
$$
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = -a \sin t,\quad \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = b \cos t
$$
所以
$$
\mathrm{d}s = \sqrt{a^2 \sin^2 t + b^2 \cos^2 t} \, \mathrm{d}t
$$

步骤3：代入被积函数
$$
x y = (a \cos t)(b \sin t) = a b \sin t \cos t
$$
因此积分化为
$$
\int_{L} x y \, \mathrm{d}s = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} a b \sin t \cos t \cdot \sqrt{a^2 \sin^2 t + b^2 \cos^2 t} \, \mathrm{d}t
$$

步骤4：换元简化
令
$$
u = a^2 \sin^2 t + b^2 \cos^2 t
$$
则
$$
\mathrm{d}u = (2a^2 \sin t \cos t - 2b^2 \sin t \cos t) \, \mathrm{d}t = 2 (a^2 - b^2) \sin t \cos t \, \mathrm{d}t
$$
因此
$$
\sin t \cos t \, \mathrm{d}t = \frac{\mathrm{d}u}{2(a^2 - b^2)}
$$
当 $t = 0$ 时，$u = b^2$；当 $t = \frac{\pi}{2}$ 时，$u = a^2$。

步骤5：代入积分
$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} a b \sin t \cos t \sqrt{a^2 \sin^2 t + b^2 \cos^2 t} \, \mathrm{d}t
= a b \int_{b^2}^{a^2} \sqrt{u} \cdot \frac{\mathrm{d}u}{2(a^2 - b^2)}
$$
$$
= \frac{a b}{2(a^2 - b^2)} \int_{b^2}^{a^2} u^{1/2} \, \mathrm{d}u
$$
计算积分：
$$
\int u^{1/2} \, \mathrm{d}u = \frac{2}{3} u^{3/2}
$$
所以
$$
\frac{a b}{2(a^2 - b^2)} \cdot \frac{2}{3} \left[ u^{3/2} \right]_{b^2}^{a^2}
= \frac{a b}{3(a^2 - b^2)} \left( a^3 - b^3 \right)
$$

步骤6：化简结果
注意到
$$
a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + a b + b^2)
$$
而
$$
a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)
$$
因此
$$
\frac{a b}{3(a^2 - b^2)} (a^3 - b^3) = \frac{a b}{3} \cdot \frac{a^2 + a b + b^2}{a + b}
$$

最终答案
$$
\boxed{\displaystyle \frac{ab(a^2 + ab + b^2)}{3(a + b)}}
$$

难度：★★☆☆☆