人邮高数 第7章 第7-5-*19题

[AI解答]

[AI解答]

（1）
向量场 $\boldsymbol{A} = -y\boldsymbol{i} + x\boldsymbol{j} + c\boldsymbol{k}$，曲线 $\Gamma$ 为圆周 $x^2 + y^2 = 1, z=0$，逆时针方向（从 $z$ 轴正向看）。

环流量定义为
$$
\oint_{\Gamma} \boldsymbol{A} \cdot d\boldsymbol{r}
$$
将曲线参数化：
令 $x = \cos t,\; y = \sin t,\; z = 0$，其中 $t$ 从 $0$ 到 $2\pi$，逆时针方向对应参数增加方向。
则
$$
d\boldsymbol{r} = (-\sin t\,\boldsymbol{i} + \cos t\,\boldsymbol{j})\,dt
$$
而
$$
\boldsymbol{A} = -\sin t\,\boldsymbol{i} + \cos t\,\boldsymbol{j} + c\boldsymbol{k}
$$
点积为
$$
\boldsymbol{A} \cdot d\boldsymbol{r} = (-\sin t)(-\sin t) + (\cos t)(\cos t) + c\cdot 0 = \sin^2 t + \cos^2 t = 1
$$
因此
$$
\oint_{\Gamma} \boldsymbol{A} \cdot d\boldsymbol{r} = \int_{0}^{2\pi} 1\,dt = 2\pi
$$

也可用斯托克斯公式验证：
$$
\nabla \times \boldsymbol{A} =
\begin{vmatrix}
\boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\
\displaystyle{\frac{\partial}{\partial x}} & \displaystyle{\frac{\partial}{\partial y}} & \displaystyle{\frac{\partial}{\partial z}} \\
-y & x & c
\end{vmatrix}
= (0-0)\boldsymbol{i} - (0-0)\boldsymbol{j} + (1-(-1))\boldsymbol{k} = 2\boldsymbol{k}
$$
曲面积分：
$$
\iint_{S} (\nabla \times \boldsymbol{A})\cdot \boldsymbol{n}\,dS = \iint_{S} 2\,dS = 2 \cdot \pi \cdot 1^2 = 2\pi
$$
结果一致。

（2）
向量场 $\boldsymbol{A} = 3y\boldsymbol{i} - xz\boldsymbol{j} + yz^2\boldsymbol{k}$，曲线 $\Gamma$ 为圆周 $x^2 + y^2 = 4, z=1$，逆时针方向。

参数化：
令 $x = 2\cos t,\; y = 2\sin t,\; z = 1$，$t$ 从 $0$ 到 $2\pi$。
则
$$
d\boldsymbol{r} = (-2\sin t\,\boldsymbol{i} + 2\cos t\,\boldsymbol{j})\,dt
$$
向量场在曲线上：
$$
\boldsymbol{A} = 3(2\sin t)\,\boldsymbol{i} - (2\cos t)(1)\,\boldsymbol{j} + (2\sin t)(1)^2\,\boldsymbol{k}
= 6\sin t\,\boldsymbol{i} - 2\cos t\,\boldsymbol{j} + 2\sin t\,\boldsymbol{k}
$$
点积：
$$
\boldsymbol{A} \cdot d\boldsymbol{r} = (6\sin t)(-2\sin t) + (-2\cos t)(2\cos t) + (2\sin t)(0)
= -12\sin^2 t - 4\cos^2 t
$$
化简：
$$
-12\sin^2 t - 4\cos^2 t = -4(3\sin^2 t + \cos^2 t) = -4(2\sin^2 t + 1)
$$
积分：
$$
\oint_{\Gamma} \boldsymbol{A} \cdot d\boldsymbol{r} = \int_{0}^{2\pi} \left(-12\sin^2 t - 4\cos^2 t\right) dt
$$
利用 $\displaystyle{\int_{0}^{2\pi} \sin^2 t\,dt = \pi}$，$\displaystyle{\int_{0}^{2\pi} \cos^2 t\,dt = \pi}$，得
$$
= -12\pi - 4\pi = -16\pi
$$

也可用斯托克斯公式：
计算旋度：
$$
\nabla \times \boldsymbol{A} =
\begin{vmatrix}
\boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\
\displaystyle{\frac{\partial}{\partial x}} & \displaystyle{\frac{\partial}{\partial y}} & \displaystyle{\frac{\partial}{\partial z}} \\
3y & -xz & yz^2
\end{vmatrix}
$$
各分量：
- $i$ 分量：$\displaystyle{\frac{\partial}{\partial y}(yz^2) - \frac{\partial}{\partial z}(-xz)} = z^2 + x$
- $j$ 分量：$\displaystyle{-\left[\frac{\partial}{\partial x}(yz^2) - \frac{\partial}{\partial z}(3y)\right]} = -(0 - 0) = 0$
- $k$ 分量：$\displaystyle{\frac{\partial}{\partial x}(-xz) - \frac{\partial}{\partial y}(3y)} = -z - 3$

因此在 $z=1$ 平面上：
$$
\nabla \times \boldsymbol{A} = (1^2 + x)\boldsymbol{i} + 0\boldsymbol{j} + (-1 - 3)\boldsymbol{k} = (1+x)\boldsymbol{i} - 4\boldsymbol{k}
$$
曲面法向向上（逆时针对应上侧法向），$\boldsymbol{n} = \boldsymbol{k}$，则
$$
(\nabla \times \boldsymbol{A})\cdot \boldsymbol{n} = -4
$$
曲面积分：
$$
\iint_{S} (-4)\,dS = -4 \cdot (\pi \cdot 2^2) = -16\pi
$$
结果一致。

答案：
(1) $2\pi$
(2) $-16\pi$

难度：★★☆☆☆