人邮高数 第8章 第8-2-5题

[AI解答]

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以下逐题判定级数的敛散性，并给出简要步骤。

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（1）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{n}{(3 n+2)\left(n^{2}+1\right)}$

比较判别法：
当 $n\to\infty$ 时，
$$
\frac{n}{(3n+2)(n^2+1)} \sim \frac{n}{3n\cdot n^2} = \frac{1}{3n^2}
$$
而 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 收敛（$p=2>1$），故原级数收敛。

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（2）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3 n+1}$

通项极限：
$$
\lim_{n\to\infty} \frac{n}{3n+1} = \frac{1}{3} \neq 0
$$
由级数收敛的必要条件，级数发散。

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（3）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n(n+2)}$

化简：
$$
\frac{n+1}{n(n+2)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{n} + \frac{1}{n+2}\right)
$$
与调和级数 $\displaystyle{\sum}\frac{1}{n}$ 比较，发散。

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（4）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \sqrt{\frac{n+1}{n}}$

通项极限：
$$
\lim_{n\to\infty} \sqrt{\frac{n+1}{n}} = 1 \neq 0
$$
故级数发散。

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（5）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{5^{n}}$

用比值判别法：
$$
\lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)!/5^{n+1}}{n!/5^n} = \lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{5} = \infty > 1
$$
故级数发散。

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（6）$\displaystyle{\sum}_{n=2}^{\infty} \ln \frac{n^{2}-1}{n^{2}}$

化简：
$$
\ln\frac{n^2-1}{n^2} = \ln\left(1-\frac{1}{n^2}\right) \sim -\frac{1}{n^2}
$$
而 $\displaystyle{\sum}\frac{1}{n^2}$ 收敛，故原级数收敛。

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（7）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{\sin ^{2} \frac{n \pi}{2}}{2^{n}}$

注意到 $\displaystyle \sin^2\frac{n\pi}{2}$ 取值为 $0$ 或 $1$，故
$$
0 \le \frac{\sin^2\frac{n\pi}{2}}{2^n} \le \frac{1}{2^n}
$$
而 $\displaystyle{\sum}\frac{1}{2^n}$ 收敛，由比较判别法知原级数收敛。

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（8）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!}$

由比值判别法：
$$
\lim_{n\to\infty} \frac{1/(n+1)!}{1/n!} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n+1} = 0 < 1
$$
故级数收敛（且和为 $e-1$）。

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（9）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n a+b}\quad (a>0,b>0)$

通项 $\displaystyle \sim \frac{1}{a n}$，与调和级数同阶，故发散。

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（10）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \sin ^{n}\left(\frac{\pi}{4}+\frac{b}{n}\right)$

当 $n\to\infty$ 时，
$$
\sin\left(\frac{\pi}{4}+\frac{b}{n}\right) \to \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} < 1
$$
故存在 $0

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（11）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{\ln (n!)}{n!}$

由斯特林公式：$\ln(n!) \sim n\ln n - n$，故
$$
\frac{\ln(n!)}{n!} \sim \frac{n\ln n}{n!}
$$
用比值判别法：
$$
\lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)\ln(n+1)/(n+1)!}{n\ln n / n!} = \lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)\ln(n+1)}{(n+1)n\ln n} = \lim_{n\to\infty} \frac{\ln(n+1)}{n\ln n} = 0
$$
故级数收敛。

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（12）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \mathrm{e}^{-\frac{n^{2}+1}{n+1}}$

化简指数：
$$
\frac{n^2+1}{n+1} = n-1+\frac{2}{n+1}
$$
故
$$
\mathrm{e}^{-\frac{n^2+1}{n+1}} = \mathrm{e}^{-n+1-\frac{2}{n+1}} \le e \cdot e^{-n}
$$
而 $\displaystyle{\sum} e^{-n}$ 收敛，故原级数收敛。

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难度评级：★★☆☆☆
（多数题目只需基本判别法，但部分需技巧如斯特林公式，整体中等偏易）