人邮高数 第8章 第8-3-1题

[AI解答]

[AI解答]

（1） 级数 $\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{2^{n} n}}$
注意当 $n=0$ 时，分母为 $0$，通常理解为从 $n=1$ 开始。
使用比值法求收敛半径：
$$
a_n = \frac{1}{2^n n}
$$
$$
R = \lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right|
= \lim_{n\to\infty} \frac{1/(2^n n)}{1/(2^{n+1}(n+1))}
= \lim_{n\to\infty} \frac{2^{n+1}(n+1)}{2^n n}
= \lim_{n\to\infty} \frac{2(n+1)}{n} = 2
$$
因此 $R=2$，选 B。

（2） 级数 $\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^{n}}{2+n} x^{n}}$
$$
a_n = \frac{2^n}{n+2}
$$
$$
R = \lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right|
= \lim_{n\to\infty} \frac{2^n/(n+2)}{2^{n+1}/(n+3)}
= \lim_{n\to\infty} \frac{n+3}{2(n+2)} = \frac12
$$
因此 $R=\frac12$，选 C。

（3） 级数 $\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{(2 n-1)(2 n)}}$
当 $n=0$ 时分母为 $(-1)\cdot 0 = 0$，同样理解为从 $n=1$ 开始。
$$
a_n = \frac{1}{(2n-1)(2n)}
$$
$$
R = \lim_{n\to\infty} \frac{(2n-1)(2n)}{(2n+1)(2n+2)} = 1
$$
收敛半径为 $1$。
端点处：
- 当 $x=1$：$\sum \frac{1}{(2n-1)(2n)}$ 与 $\frac{1}{n^2}$ 同阶，收敛。
- 当 $x=-1$：$\sum \frac{(-1)^n}{(2n-1)(2n)}$ 绝对收敛。
因此收敛域为 $[-1,1]$，选 A。

（4） 幂级数 $\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}(x-3)^{n}}$
这是几何级数，公比为 $x-3$，收敛条件 $|x-3|<1$，即 $2端点：
- $x=2$：$\sum (-1)^n$ 发散
- $x=4$：$\sum 1$ 发散
因此收敛域为 $(2,4)$，选 B。

最终答案：
（1）B
（2）C
（3）A
（4）B

难度：★☆☆☆☆