人邮高数 第8章 第8-3-2题

[AI解答]

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我们逐题求解幂级数的收敛半径与收敛域。

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（1）$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n^{n}}}$

用根值法：
$$
\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{\left|\frac{1}{n^n}\right|} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 0
$$
所以收敛半径 $R = +\infty$，收敛域为 $(-\infty, +\infty)$。

难度：★☆☆☆☆

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（2）$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2n-1}}{2^{n}}}$

令 $t = x^2$，则级数为：
$$
\frac{1}{x}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x^2)^n}{2^n} = \frac{1}{x}\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{x^2}{2}\right)^n
$$
这是几何级数，当 $|x^2/2|<1$ 即 $|x|<\sqrt{2}$ 时收敛，在端点：
- $x=\pm\sqrt{2}$ 时，通项为 $\frac{(\pm\sqrt{2})^{2n-1}}{2^n} = \frac{(\pm1)^{2n-1}2^{n-1/2}}{2^n} = \frac{\pm1}{\sqrt{2}}$，不趋于0，发散。

所以收敛半径 $R=\sqrt{2}$，收敛域 $(-\sqrt{2},\sqrt{2})$。

难度：★★☆☆☆

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（3）$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{3n+1}}{(2n-1)2^n}}$

提出 $x$：
$$
x \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x^3)^n}{(2n-1)2^n}
$$
令 $t=x^3$，用比值法：
$$
\lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n\to\infty} \frac{2n-1}{2n+1} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}
$$
所以 $|t| < 2$ 即 $|x|^3 < 2 \Rightarrow |x| < \sqrt[3]{2}$。

端点：
- $x=\sqrt[3]{2}$：级数为 $\sum \frac{2^{n+1/3}}{(2n-1)2^n} = \sqrt[3]{2}\sum \frac{1}{2n-1}$ 发散。
- $x=-\sqrt[3]{2}$：$\sum \frac{(-1)^n \sqrt[3]{2}}{2n-1}$ 交错且递减趋于0，收敛。

收敛半径 $R=\sqrt[3]{2}$，收敛域 $[-\sqrt[3]{2},\sqrt[3]{2})$。

难度：★★★☆☆

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（4）$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} n 4^{n-1} x^{2n}}$

令 $t=x^2$，则级数为 $\sum n 4^{n-1} t^n$，系数 $a_n = n 4^{n-1}$，比值法：
$$
\lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)4^n}{n4^{n-1}} = 4
$$
所以 $|t| < \frac14$，即 $|x| < \frac12$。

端点：
- $x=\pm\frac12$：通项为 $n 4^{n-1} (\frac14)^n = \frac{n}{4}$，不趋于0，发散。

收敛半径 $R=\frac12$，收敛域 $(-\frac12,\frac12)$。

难度：★★☆☆☆

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（5）$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln n}{n} x^{n}}$

比值法：
$$
\lim_{n\to\infty} \frac{\ln(n+1)/(n+1)}{\ln n / n} = 1
$$
所以 $R=1$。

端点：
- $x=1$：$\sum \frac{\ln n}{n}$ 发散（比较判别法）。
- $x=-1$：交错级数 $\sum (-1)^n \frac{\ln n}{n}$，由莱布尼茨判别法，$\frac{\ln n}{n}$ 递减趋于0，收敛。

收敛域 $[-1,1)$。

难度：★★★☆☆

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（6）$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \left[\left(\frac12\right)^n + 4^n\right] x^n}$

分成两个级数：
- $\sum (\frac12)^n x^n$ 收敛半径 $2$
- $\sum 4^n x^n$ 收敛半径 $\frac14$

取较小半径，$R=\frac14$。

端点：
- $x=\frac14$：通项 $(\frac12)^n(\frac14)^n + 4^n(\frac14)^n = (\frac18)^n + 1$，不趋于0，发散。
- $x=-\frac14$：通项 $(\frac12)^n(-\frac14)^n + 4^n(-\frac14)^n = (-\frac18)^n + (-1)^n$，不趋于0，发散。

收敛域 $(-\frac14,\frac14)$。

难度：★★☆☆☆

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（7）$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{x^n}{n^2}}$

系数绝对值 $\frac{1}{n^2}$，比值极限为1，$R=1$。

端点：
- $x=1$：$\sum (-1)^n \frac{1}{n^2}$ 绝对收敛。
- $x=-1$：$\sum \frac{1}{n^2}$ 绝对收敛。

收敛域 $[-1,1]$。

难度：★☆☆☆☆

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（8）$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{(2n)!!}}$

$(2n)!! = 2^n n!$，比值法：
$$
\lim_{n\to\infty} \frac{2^n n!}{2^{n+1}(n+1)!} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{2(n+1)} = 0
$$
所以 $R=+\infty$，收敛域 $(-\infty,+\infty)$。

难度：★★☆☆☆

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（9）$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n^2+1} x^n}$

比值法：
$$
\lim_{n\to\infty} \frac{2^{n+1}/((n+1)^2+1)}{2^n/(n^2+1)} = 2
$$
所以 $R=\frac12$。

端点：
- $x=\frac12$：通项 $\frac{1}{n^2+1}$ 收敛。
- $x=-\frac12$：通项 $(-1)^n \frac{1}{n^2+1}$ 绝对收敛。

收敛域 $[-\frac12,\frac12]$。

难度：★★☆☆☆

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（10）$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n\cdot 3^n}}$

比值法：
$$
\lim_{n\to\infty} \frac{1/((n+1)3^{n+1})}{1/(n3^n)} = \frac13
$$
所以 $R=3$。

端点：
- $x=3$：$\sum \frac{1}{n}$ 发散。
- $x=-3$：$\sum (-1)^n \frac{1}{n}$ 条件收敛。

收敛域 $[-3,3)$。

难度：★★☆☆☆

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（11）$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1}}$

提出 $x$，令 $t=x^2$：
$$
x\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{t^n}{2n+1}
$$
比值法：
$$
\lim_{n\to\infty} \frac{2n+1}{2n+3} = 1
$$
所以 $|t|<1$ 即 $|x|<1$。

端点：
- $x=1$：$\sum (-1)^n \frac{1}{2n+1}$ 条件收敛。
- $x=-1$：$\sum (-1)^n \frac{(-1)^{2n+1}}{2n+1} = \sum (-1)^{n+1}\frac{1}{2n+1}$ 也条件收敛。

收敛域 $[-1,1]$。

难度：★★☆☆☆

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（12）$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n-1}{2