人邮高数 第8章 第8-3-3题

[AI解答]

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以下为各小题的详细解答，包括收敛半径与收敛域的求解过程。

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（1）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}}(x-1)^{n},\quad p>0$

解：令 $\displaystyle a_n = \frac{1}{n^p}$，则
$$
R = \lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| = \lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)^p}{n^p} = 1
$$
收敛半径为 $R=1$。
中心为 $x=1$，所以收敛区间为 $|x-1|<1$，即 $(0,2)$。
端点：
- $x=2$ 时，级数为 $\displaystyle \sum \frac{1}{n^p}$，$p>0$ 时 $p>1$ 收敛，$0- $x=0$ 时，级数为 $\displaystyle \sum \frac{(-1)^n}{n^p}$，当 $p>0$ 时由莱布尼茨判别法知收敛（条件收敛）。

结论：
- 若 $p>1$：收敛域 $[0,2]$
- 若 $0

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（2）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{2^{2 n-1}}{n \sqrt{n}}(x+1)^{n}$

解：$\displaystyle a_n = \frac{2^{2n-1}}{n^{3/2}}$，则
$$
R = \lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| = \lim_{n\to\infty} \frac{2^{2n-1}}{n^{3/2}} \cdot \frac{(n+1)^{3/2}}{2^{2n+1}} = \frac{1}{4}
$$
收敛半径 $\displaystyle R = \frac14$。
中心 $x=-1$，收敛区间 $\displaystyle |x+1|<\frac14$，即 $\displaystyle (-\frac54, -\frac34)$。
端点：
- $\displaystyle x = -\frac34$：级数为 $\displaystyle \sum \frac{2^{2n-1}}{n^{3/2}} \cdot \left(\frac14\right)^n = \sum \frac{1}{2 n^{3/2}}$ 收敛。
- $\displaystyle x = -\frac54$：级数为 $\displaystyle \sum \frac{2^{2n-1}}{n^{3/2}} \cdot \left(-\frac14\right)^n = \sum \frac{(-1)^n}{2 n^{3/2}}$ 绝对收敛。

结论：收敛域 $\displaystyle \left[-\frac54, -\frac34\right]$

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（3）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{(x-5)^{n}}{\sqrt{n}}$

解：$\displaystyle a_n = \frac{1}{\sqrt{n}}$，则
$$
R = \lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n}} = 1
$$
中心 $x=5$，收敛区间 $(4,6)$。
端点：
- $x=6$：$\displaystyle \sum \frac{1}{\sqrt{n}}$ 发散（$\displaystyle p=\frac12$）。
- $x=4$：$\displaystyle \sum \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$ 条件收敛。

结论：收敛域 $[4,6)$

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（4）$\displaystyle{\sum}_{n=0}^{\infty} 2^{n}(x+a)^{2 n}$

解：令 $t = (x+a)^2$，则级数为 $\sum 2^n t^n$，
$$
R_t = \lim_{n\to\infty} \frac{2^n}{2^{n+1}} = \frac12
$$
所以 $\displaystyle |t|<\frac12$，即 $\displaystyle (x+a)^2 < \frac12$，得 $\displaystyle |x+a| < \frac{1}{\sqrt{2}}$。
收敛半径关于 $x$ 为 $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$。
端点：当 $\displaystyle (x+a)^2 = \frac12$ 时，级数为 $\displaystyle \sum 2^n \cdot \left(\frac12\right)^n = \sum 1$ 发散。

结论：收敛域 $\displaystyle \left(-a-\frac{1}{\sqrt{2}}, -a+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$

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（5）$\displaystyle{\sum}_{n=0}^{\infty} \frac{(x-a)^{3 n}}{(3 n)!}$

解：令 $t = (x-a)^3$，则级数为 $\displaystyle \sum \frac{t^n}{(3n)!}$。
用比值法：
$$
\lim_{n\to\infty} \frac{|t|^{n+1}/(3n+3)!}{|t|^n/(3n)!} = \lim_{n\to\infty} \frac{|t|}{(3n+3)(3n+2)(3n+1)} = 0
$$
对任意 $t$ 收敛，故 $t\in\mathbb{R}$，即 $x\in\mathbb{R}$。

结论：收敛半径 $R=\infty$，收敛域 $\mathbb{R}$

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（6）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{3^{n}+(-2)^{n}}{n}(x+1)^{n}$

解：$\displaystyle a_n = \frac{3^n+(-2)^n}{n}$，则
$$
R = \lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| = \lim_{n\to\infty} \frac{3^n+(-2)^n}{n} \cdot \frac{n+1}{3^{n+1}+(-2)^{n+1}}
$$
分子分母同除以 $3^{n+1}$：
$$
= \lim_{n\to\infty} \frac{ \frac13 + \frac{(-2)^n}{3^{n+1}} }{1 + \frac{(-2)^{n+1}}{3^{n+1}}} \cdot \frac{n+1}{n} = \frac13
$$
收敛半径 $\displaystyle R=\frac13$。
中心 $x=-1$，区间 $\displaystyle |x+1|<\frac13$，即 $\displaystyle (-\frac43, -\frac23)$。
端点：
- $\displaystyle x=-\frac23$：级数为 $\displaystyle \sum \frac{3^n+(-2)^n}{n} \cdot \left(\frac13\right)^n = \sum \frac{1+(-2/3)^n}{n}$，$\displaystyle \sum \frac1n$ 发散，另一项收敛，故发散。
- $\displaystyle x=-\frac43$：级数为 $\displaystyle \sum \frac{3^n+(-2)^n}{n} \cdot \left(-\frac13\right)^n = \sum \frac{(-1)^n + (2/3)^n}{n}$，$\displaystyle \sum \frac{(-1)^n}{n}$ 条件收敛，另一项绝对收敛，故条件收敛。

结论：收敛域 $\displaystyle \left[-\frac43, -\frac23\right)$

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（7）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{a^{n}+b^{n}},\quad a>0,b>0$

解：设 $M = \max\{a,b\}$，则
$$
\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{\sqrt[n]{a^n+b^n}} = \frac{1}{M}
$$
收敛半径 $R = M$。
端点：
- $x=M$：通项 $\displaystyle \frac{M^n}{a^n+b^n}$，若 $a=b=M$，则为 $\displaystyle \frac{M^n}{2M^n}=\frac12$，发散；若 $a\neq b$，则趋于 $1$ 或 $0$？实际当 $a- $x=-M$：类似分析，通项不趋于0，发散。

结论：收敛域 $(-M, M)$，其中 $M=\max\{a,b\}$

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（8）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}\left(\frac{a^{n}}{n}+\frac{b^{n}}{n^{2}}\right) x^{n},\quad a>0,b>0$

解：分别考虑两个级数：
- $\displaystyle \sum \frac{a^n}{n} x^n$ 的收敛半径为 $\displaystyle \frac1a$
- $\displaystyle \sum \frac{b^n}{n^2} x^n$ 的收敛半径为 $\displaystyle \frac1b$
和级数的收敛半径为两者中较小者：$R = \min\left\{\frac1a, \frac1b