人邮高数 第8章 第8-3-4题

[AI解答]

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以下是习题8-3第4题各小题的解答，均使用幂级数求和的标准方法（逐项积分或逐项求导）。

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（1）
$\displaystyle{\sum}_{n=0}^{\infty} \frac{x^{4 n+1}}{4 n+1}$

解：
设
$$
S(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{4n+1}}{4n+1}
$$
先求导：
$$
S'(x)=\sum_{n=0}^{\infty} x^{4n} = \frac{1}{1-x^4},\quad |x|<1
$$
积分得：
$$
S(x)=\int_0^x \frac{1}{1-t^4}\,dt
$$
利用部分分式：
$$
\frac{1}{1-t^4}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1-t^2}+\frac{1}{1+t^2}\right)
$$
再分解：
$$
\frac{1}{1-t^2}=\frac12\left(\frac{1}{1-t}+\frac{1}{1+t}\right)
$$
于是：
$$
S(x)=\frac14\int_0^x\left(\frac{1}{1-t}+\frac{1}{1+t}+\frac{2}{1+t^2}\right)dt
$$
$$
=\frac14\left[-\ln|1-t|+\ln|1+t|+2\arctan t\right]_0^x
$$
$$
=\frac14\left(\ln\frac{1+x}{1-x}+2\arctan x\right),\quad |x|<1
$$

答案：
$$
\boxed{S(x)=\frac14\left(\ln\frac{1+x}{1-x}+2\arctan x\right),\quad |x|<1}
$$

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（2）
$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} n x^{n-1}$

解：
已知
$$
\sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x},\quad |x|<1
$$
逐项求导：
$$
\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1} = \frac{1}{(1-x)^2}
$$

答案：
$$
\boxed{\frac{1}{(1-x)^2},\quad |x|<1}
$$

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（3）
$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n \cdot 4^{n}}$

解：
令
$$
S(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\left(\frac{x}{4}\right)^n
$$
已知
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{y^n}{n} = -\ln(1-y),\quad |y|<1
$$
取 $y=x/4$，得：
$$
S(x)=-\ln\left(1-\frac{x}{4}\right),\quad |x|<4
$$

答案：
$$
\boxed{-\ln\left(1-\frac{x}{4}\right),\quad |x|<4}
$$

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（4）
$\displaystyle{\sum}_{n=2}^{\infty} \frac{x^{n}}{(n-1) n}$

解：
注意到
$$
\frac{1}{(n-1)n} = \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}
$$
于是
$$
S(x)=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{x^n}{n-1} - \sum_{n=2}^{\infty}\frac{x^n}{n}
$$
第一个和：令 $m=n-1$，得
$$
\sum_{m=1}^{\infty}\frac{x^{m+1}}{m}=x\sum_{m=1}^{\infty}\frac{x^m}{m} = -x\ln(1-x)
$$
第二个和：
$$
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{x^n}{n} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n} - x = -\ln(1-x)-x
$$
相减：
$$
S(x)= -x\ln(1-x) - \bigl(-\ln(1-x)-x\bigr) = (1-x)\ln(1-x)+x
$$

答案：
$$
\boxed{(1-x)\ln(1-x)+x,\quad |x|<1}
$$

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（5）
$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{2 n-1}{2^{n}} x^{2 n-2}$

解：
令
$$
S(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n-1}{2^n} x^{2n-2}
$$
提取 $x^{-2}$ 因子（先考虑 $x\neq0$）：
$$
S(x)=\frac{1}{x^2}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n-1}{2^n} x^{2n}
$$
令 $t=x^2/2$，则
$$
\sum_{n=1}^{\infty} (2n-1) t^n = 2\sum_{n=1}^{\infty} n t^n - \sum_{n=1}^{\infty} t^n
$$
已知
$$
\sum_{n=1}^{\infty} n t^n = \frac{t}{(1-t)^2},\quad \sum_{n=1}^{\infty} t^n = \frac{t}{1-t}
$$
所以
$$
\sum_{n=1}^{\infty} (2n-1) t^n = \frac{2t}{(1-t)^2} - \frac{t}{1-t} = \frac{t(1+t)}{(1-t)^2}
$$
代回 $t=x^2/2$：
$$
S(x)=\frac{1}{x^2}\cdot \frac{\frac{x^2}{2}\left(1+\frac{x^2}{2}\right)}{\left(1-\frac{x^2}{2}\right)^2}
= \frac{1+\frac{x^2}{2}}{2\left(1-\frac{x^2}{2}\right)^2}
= \frac{2+x^2}{2\left(1-\frac{x^2}{2}\right)^2}
$$
化简：
$$
S(x)=\frac{2+x^2}{(2-x^2)^2}\cdot 2?
$$
检查：
$$
\left(1-\frac{x^2}{2}\right)^2 = \frac{(2-x^2)^2}{4}
$$
所以
$$
S(x)=\frac{2+x^2}{2}\cdot \frac{4}{(2-x^2)^2} = \frac{2(2+x^2)}{(2-x^2)^2}
$$

答案：
$$
\boxed{\frac{2(2+x^2)}{(2-x^2)^2},\quad |x|<\sqrt{2}}
$$

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（6）
$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}(2 n+1) x^{n}$

解：
$$
S(x)=\sum_{n=1}^{\infty} (2n+1)x^n = 2\sum_{n=1}^{\infty} n x^n + \sum_{n=1}^{\infty} x^n
$$
已知
$$
\sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2},\quad \sum_{n=1}^{\infty} x^n = \frac{x}{1-x}
$$
所以
$$
S(x)=\frac{2x}{(1-x)^2} + \frac{x}{1-x} = \frac{2x + x(1-x)}{(1-x)^2} = \frac{3x - x^2}{(1-x)^2}
$$

答案：
$$
\boxed{\frac{x(3-x)}{(1-x)^2},\quad |x|<1}
$$

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（7）
$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{n(n+1)}{2} x^{n-1}$

解：
注意到
$$
\frac{n(n+1)}{2} = \binom{n+1}{2}
$$
考虑
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \binom{n+1}{2} x^{n-1} = \frac12 \sum_{n=1}^{\infty} n(n+1)x^{n-1}
$$
已知
$$
\sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x}
$$
求导两次：
$$
\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1)x^{n-2} = \frac{2}{(1-x)^3}
$$
调整指标：令 $n=m+1$，则
$$
\sum_{m=1}^{\infty} (m+1)m x^{m-1} = \frac{2}{(1-x)^3}
$$
这正是所求的和的两倍（因为 $n(n