人邮高数 第8章 第8-4-6题

[AI解答]

[AI解答]
我们首先明确，函数 $ f(x)=|\sin x| $ 是周期为 $\pi$ 的函数，因为
$$
|\sin(x+\pi)| = |-\sin x| = |\sin x|
$$
所以其最小正周期是 $\pi$。因此，我们可以在区间 $[-\pi/2, \pi/2]$ 或更方便的 $[0, \pi]$ 上展开成傅里叶级数，但注意周期是 $\pi$，因此基频为 $2\pi/T = 2$。

设周期 $T = \pi$，则傅里叶级数形式为
$$
f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos(2nx) + b_n \sin(2nx) \right)
$$
因为 $f(x)$ 是偶函数（$|\sin(-x)| = |\sin x|$），所以 $b_n = 0$。

计算系数：
$$
a_0 = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} |\sin x| \, dx = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} \sin x \, dx = \frac{2}{\pi} \left[-\cos x\right]_{0}^{\pi} = \frac{2}{\pi}(1 - (-1)) = \frac{4}{\pi}
$$

对于 $n \ge 1$：
$$
a_n = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} |\sin x| \cos(2nx) \, dx = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} \sin x \cos(2nx) \, dx
$$
利用积化和差公式：
$$
\sin x \cos(2nx) = \frac{1}{2} \left[ \sin((1+2n)x) + \sin((1-2n)x) \right]
$$
因此
$$
a_n = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \left[ \sin((2n+1)x) + \sin((1-2n)x) \right] dx
$$
注意 $\sin((1-2n)x) = -\sin((2n-1)x)$，所以
$$
a_n = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \left[ \sin((2n+1)x) - \sin((2n-1)x) \right] dx
$$
计算积分：
$$
\int_{0}^{\pi} \sin(kx) dx = \left[ -\frac{\cos(kx)}{k} \right]_{0}^{\pi} = \frac{1 - \cos(k\pi)}{k}
$$
因此
$$
a_n = \frac{1}{\pi} \left( \frac{1 - \cos((2n+1)\pi)}{2n+1} - \frac{1 - \cos((2n-1)\pi)}{2n-1} \right)
$$
由于 $\cos((2n\pm 1)\pi) = -1$，所以
$$
1 - (-1) = 2
$$
于是
$$
a_n = \frac{1}{\pi} \left( \frac{2}{2n+1} - \frac{2}{2n-1} \right) = \frac{2}{\pi} \left( \frac{1}{2n+1} - \frac{1}{2n-1} \right)
$$
通分：
$$
\frac{1}{2n+1} - \frac{1}{2n-1} = \frac{(2n-1) - (2n+1)}{(2n+1)(2n-1)} = \frac{-2}{4n^2 - 1}
$$
所以
$$
a_n = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{-2}{4n^2 - 1} = -\frac{4}{\pi(4n^2 - 1)}
$$

因此，傅里叶级数为
$$
|\sin x| = \frac{2}{\pi} - \frac{4}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(2nx)}{4n^2 - 1}
$$
这里 $\frac{a_0}{2} = \frac{2}{\pi}$。

该级数在整个实数轴上成立，因为 $|\sin x|$ 连续且分段光滑，傅里叶级数处处收敛到它本身。

难度评级：★★★☆☆
（需要处理偶函数性质、周期判断、积化和差及特殊三角函数值，计算稍复杂但思路清晰）