人邮高数 第1章 第1-7-8题

[AI解答]

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第一步：确定定义域与间断点候选
函数为
$$f(x)=\frac{x|x-2|}{(x^2-4)\sin x}.$$
分母为零的点是可能的间断点：
- $x^2-4=0 \Rightarrow x=2$ 或 $x=-2$；
- $\sin x=0 \Rightarrow x=k\pi,\;k\in\mathbb{Z}$。

此外，分子中的绝对值 $|x-2|$ 在 $x=2$ 处可能引起不可导，但此处分母也为零，需单独分析。
因此候选间断点集合为
$$\{-2,\;2,\;k\pi\;(k\in\mathbb{Z})\}.$$

第二步：逐一分析各点的极限与类型

1. **$x=0$**（属于 $k\pi$ 中 $k=0$ 的情况）
$$f(x)=\frac{x|x-2|}{(x^2-4)\sin x}.$$
当 $x\to 0$ 时，$|x-2|\to 2$，$x^2-4\to -4$，$\sin x\sim x$，因此
$$f(x)\sim \frac{x\cdot 2}{(-4)\cdot x}=-\frac{1}{2}.$$
极限存在且有限，故 $x=0$ 为可去间断点。

2. **$x=2$**
分母 $x^2-4=(x-2)(x+2)$，分子 $x|x-2|$。考虑左右极限：
- 当 $x\to 2^+$，$|x-2|=x-2$，则
$$f(x)=\frac{x(x-2)}{(x-2)(x+2)\sin x}=\frac{x}{(x+2)\sin x}\to \frac{2}{4\sin 2}=\frac{1}{2\sin 2}.$$
- 当 $x\to 2^-$，$|x-2|=2-x$，则
$$f(x)=\frac{x(2-x)}{(x-2)(x+2)\sin x}=\frac{-x(2-x)}{(2-x)(x+2)\sin x}=-\frac{x}{(x+2)\sin x}\to -\frac{1}{2\sin 2}.$$
左右极限不相等，故 $x=2$ 为跳跃间断点。

3. **$x=-2$**
分母 $x^2-4=0$，分子 $x|x-2|=-2\cdot 4=-8\neq 0$，而 $\sin(-2)\neq 0$，因此分母为零且分子非零，极限为无穷大，故 $x=-2$ 为第二类无穷间断点。

4. **$x=k\pi$（$k\neq 0$）**
此时 $\sin x=0$，分母为零。检查分子：
- 若 $k\pi\neq 2$ 且 $k\pi\neq -2$，则分子 $x|x-2|\neq 0$，因此极限为无穷大，为第二类无穷间断点。
- 注意 $k=0$ 已单独处理，$k$ 使得 $k\pi=2$ 或 $k\pi=-2$ 的情况不存在（因为 $\pi$ 无理数），故所有非零整数 $k$ 均为无穷间断点。

第三步：汇总结果
- 可去间断点：$x=0$；
- 跳跃间断点：$x=2$；
- 第二类无穷间断点：$x=-2$ 及 $x=k\pi\;(k\in\mathbb{Z},\;k\neq 0)$。

因此，函数的所有间断点及类型如上所述。