人邮高数 第2章 第2-1-2题
📝 题目
2．求下列函数的导数：
（1）$y=x^{5}$ ；
（2）$y=\sqrt[3]{x}$ ；
（3）$y=x \sqrt{x}$ ；
（4）$\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{x}}$ ；
（5）$\displaystyle y=\frac{1}{x^{2}}$ ；
（6）$\displaystyle y=\frac{\sqrt[3]{x^{5}}}{\sqrt{x}}$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
以下为各小题的详细求导步骤，使用基本导数公式 $ \frac{d}{dx} x^n = n x^{n-1} $。
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（1）$ y = x^{5} $
$$
y' = 5x^{5-1} = 5x^{4}
$$
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（2）$ y = \sqrt[3]{x} $
将根式写为幂形式：
$$
y = x^{\frac{1}{3}}
$$
$$
y' = \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1} = \frac{1}{3} x^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^{2}}}
$$
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（3）$ y = x \sqrt{x} $
化为幂函数：
$$
y = x \cdot x^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2}}
$$
$$
y' = \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1} = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} = \frac{3}{2} \sqrt{x}
$$
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（4）$ y = \frac{1}{\sqrt{x}} $
写成幂形式：
$$
y = x^{-\frac{1}{2}}
$$
$$
y' = -\frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2} - 1} = -\frac{1}{2} x^{-\frac{3}{2}} = -\frac{1}{2x^{\frac{3}{2}}}
$$
也可写作：
$$
y' = -\frac{1}{2x\sqrt{x}}
$$
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（5）$ y = \frac{1}{x^{2}} $
$$
y = x^{-2}
$$
$$
y' = -2 x^{-3} = -\frac{2}{x^{3}}
$$
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（6）$ y = \frac{\sqrt[3]{x^{5}}}{\sqrt{x}} $
先化为幂形式：
$$
\sqrt[3]{x^{5}} = x^{\frac{5}{3}}, \quad \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}
$$
$$
y = \frac{x^{\frac{5}{3}}}{x^{\frac{1}{2}}} = x^{\frac{5}{3} - \frac{1}{2}} = x^{\frac{10}{6} - \frac{3}{6}} = x^{\frac{7}{6}}
$$
求导：
$$
y' = \frac{7}{6} x^{\frac{7}{6} - 1} = \frac{7}{6} x^{\frac{1}{6}} = \frac{7}{6} \sqrt[6]{x}
$$
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最终答案汇总：
1. $5x^{4}$
2. $\frac{1}{3\sqrt[3]{x^{2}}}$
3. $\frac{3}{2}\sqrt{x}$
4. $-\frac{1}{2x^{\frac{3}{2}}}$
5. $-\frac{2}{x^{3}}$
6. $\frac{7}{6}\sqrt[6]{x}$