人邮高数 第2章 第2-1-3题
📝 题目
3．已知 $f(0)=0$ 且 $f^{\prime}(0)=2$ ，求 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}$ 和 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0 \sin 3 x} \frac{f(x)}{\sin 3 x}$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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第一问：求 $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}$。
由导数的定义，
$$
f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0}.
$$
已知 $f(0)=0$，所以
$$
f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}.
$$
又已知 $f'(0)=2$，因此
$$
\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 2.
$$
第二问：求 $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{\sin 3x}$。
利用极限的运算法则和等价无穷小，当 $x \to 0$ 时，$\sin 3x \sim 3x$，所以
$$
\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{\sin 3x} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{3x} \cdot \frac{3x}{\sin 3x}.
$$
因为 $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{3x}{\sin 3x} = 1$，且由第一问 $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}=2$，所以
$$
\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{\sin 3x} = \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot 1 = \frac{2}{3}.
$$
因此，最终结果为
$$
\boxed{2} \quad \text{和} \quad \boxed{\dfrac{2}{3}}.
$$