人邮高数 第2章 第2-1-4题
📝 题目
4．讨论下列函数在 $x=0$ 处的连续性和可导性：
（1）$y=x^{3}$ ；
（2）$y=\left|x^{3}\right|$ ；
（3）$y=\sin x$ ；
（4）$y=|\sin x|$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
以下依次讨论各函数在 $x=0$ 处的连续性与可导性。
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（1）$y = x^{3}$
连续性
由于 $x^{3}$ 是多项式函数，在 $x=0$ 处显然连续。
或者直接验证：
$$
\lim_{x\to 0} x^{3} = 0 = f(0)
$$
所以连续。
可导性
用导数定义：
$$
f'(0) = \lim_{x\to 0} \frac{x^{3} - 0}{x - 0} = \lim_{x\to 0} x^{2} = 0
$$
极限存在，故在 $x=0$ 处可导，且导数为 $0$。
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（2）$y = |x^{3}|$
连续性
$|x^{3}|$ 是连续函数（绝对值函数与连续函数的复合），在 $x=0$ 处显然连续。
直接验证：
$$
\lim_{x\to 0} |x^{3}| = 0 = f(0)
$$
所以连续。
可导性
用导数定义：
$$
f'(0) = \lim_{x\to 0} \frac{|x^{3}| - 0}{x - 0} = \lim_{x\to 0} \frac{|x^{3}|}{x}
$$
当 $x>0$ 时，$|x^{3}| = x^{3}$，比值为 $x^{2} \to 0$；
当 $x<0$ 时，$|x^{3}| = -x^{3}$，比值为 $-x^{2} \to 0$。
左右极限均为 $0$，故极限存在，所以可导，导数为 $0$。
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（3）$y = \sin x$
连续性
$\sin x$ 是基本初等函数，在 $x=0$ 处连续。
直接验证：
$$
\lim_{x\to 0} \sin x = 0 = \sin 0
$$
所以连续。
可导性
用导数定义：
$$
f'(0) = \lim_{x\to 0} \frac{\sin x - 0}{x - 0} = \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1
$$
极限存在，故可导，导数为 $1$。
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（4）$y = |\sin x|$
连续性
$|\sin x|$ 是连续函数（绝对值与连续函数的复合），在 $x=0$ 处连续。
直接验证：
$$
\lim_{x\to 0} |\sin x| = 0 = |\sin 0|
$$
所以连续。
可导性
用导数定义：
$$
f'(0) = \lim_{x\to 0} \frac{|\sin x| - 0}{x - 0} = \lim_{x\to 0} \frac{|\sin x|}{x}
$$
当 $x>0$ 时，$\sin x > 0$，所以 $|\sin x| = \sin x$，比值为 $\displaystyle \frac{\sin x}{x} \to 1$；
当 $x<0$ 时，$\sin x < 0$，所以 $|\sin x| = -\sin x$，比值为 $\displaystyle -\frac{\sin x}{x} \to -1$。
左右极限不相等，故极限不存在，所以在 $x=0$ 处不可导。
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总结：
（1）连续且可导；
（2）连续且可导；
（3）连续且可导；
（4）连续但不可导。