人邮高数 第2章 第2-1-5题
📝 题目
5．求下列函数在定点处的导数：
（1）$y=\sin x-\cos x$ ，求 $\displaystyle \left.y^{\prime}\right|_{x=\frac{\pi}{6}},\left.y^{\prime}\right|_{x=\frac{\pi}{4}}$ ；
（2）$\displaystyle f(x)=\frac{3}{5-x}+\frac{x^{2}}{5}$ ，求 $f^{\prime}(0), f^{\prime}(2)$ ；
（3）$\displaystyle f(t)=\frac{1-\sqrt{t}}{1+\sqrt{t}}$ ，求 $f^{\prime}(4)$ ；
（4）$y=\arctan x+3 \operatorname{arccot} x$ ，求 $f^{\prime}(1), f^{\prime}(-1)$ ；
（5）设 $\displaystyle f(x)=\frac{(x-1)(x-2)}{(x+1)(x+2)}$ ，求 $f^{\prime}(1)$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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习题2-1 第5题解答
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（1）
已知 $ y = \sin x - \cos x $，则
$$
y' = \cos x + \sin x
$$
于是
$$
\left. y' \right|_{x=\frac{\pi}{6}} = \cos\frac{\pi}{6} + \sin\frac{\pi}{6}
= \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}+1}{2}
$$
$$
\left. y' \right|_{x=\frac{\pi}{4}} = \cos\frac{\pi}{4} + \sin\frac{\pi}{4}
= \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}
$$
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（2）
已知
$$
f(x) = \frac{3}{5-x} + \frac{x^{2}}{5}
$$
先求导：
$$
f'(x) = 3 \cdot \frac{1}{(5-x)^2} + \frac{2x}{5}
$$
于是
$$
f'(0) = \frac{3}{(5-0)^2} + 0 = \frac{3}{25}
$$
$$
f'(2) = \frac{3}{(5-2)^2} + \frac{4}{5}
= \frac{3}{9} + \frac{4}{5} = \frac{1}{3} + \frac{4}{5}
= \frac{5}{15} + \frac{12}{15} = \frac{17}{15}
$$
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（3）
已知
$$
f(t) = \frac{1-\sqrt{t}}{1+\sqrt{t}}
$$
令 $ u = \sqrt{t} $，则 $ f = \frac{1-u}{1+u} $，由链式法则：
$$
f'(t) = \frac{-(1+u) - (1-u)}{(1+u)^2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{t}}
= \frac{-2}{(1+\sqrt{t})^2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{t}}
= -\frac{1}{\sqrt{t}(1+\sqrt{t})^2}
$$
于是
$$
f'(4) = -\frac{1}{\sqrt{4}(1+\sqrt{4})^2}
= -\frac{1}{2(1+2)^2} = -\frac{1}{2 \cdot 9} = -\frac{1}{18}
$$
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（4）
已知
$$
y = \arctan x + 3\operatorname{arccot} x
$$
求导：
$$
y' = \frac{1}{1+x^2} + 3\left(-\frac{1}{1+x^2}\right)
= \frac{1}{1+x^2} - \frac{3}{1+x^2}
= -\frac{2}{1+x^2}
$$
于是
$$
f'(1) = -\frac{2}{1+1^2} = -\frac{2}{2} = -1
$$
$$
f'(-1) = -\frac{2}{1+(-1)^2} = -\frac{2}{2} = -1
$$
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（5）
已知
$$
f(x) = \frac{(x-1)(x-2)}{(x+1)(x+2)}
$$
直接求 $ f'(1) $ 可用定义或化简。先化简：
$$
f(x) = \frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 + 3x + 2}
$$
求导：
$$
f'(x) = \frac{(2x-3)(x^2+3x+2) - (x^2-3x+2)(2x+3)}{(x^2+3x+2)^2}
$$
代入 $ x=1 $：
分子第一项：$ (2\cdot1-3)(1+3+2) = (-1)\cdot6 = -6 $
分子第二项：$ (1-3+2)(2+3) = 0 \cdot 5 = 0 $
所以
$$
f'(1) = \frac{-6 - 0}{(1+3+2)^2} = \frac{-6}{36} = -\frac{1}{6}
$$
或者利用因式分解法：注意到分子有因子 $ (x-1) $，可设
$$
f(x) = (x-1) \cdot g(x), \quad g(x) = \frac{x-2}{(x+1)(x+2)}
$$
则
$$
f'(1) = g(1) = \frac{1-2}{(1+1)(1+2)} = \frac{-1}{2\cdot 3} = -\frac{1}{6}
$$
结果一致。
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最终答案
（1）$\displaystyle \frac{\sqrt{3}+1}{2},\ \sqrt{2}$
（2）$\displaystyle \frac{3}{25},\ \frac{17}{15}$
（3）$\displaystyle -\frac{1}{18}$
（4）$-1,\ -1$
（5）$\displaystyle -\frac{1}{6}$