人邮高数 第2章 第2-1-6题

[AI解答]

[AI解答]

习题2-1 第6题
讨论函数在 $x=0$ 处的可导性，需要分别计算左导数与右导数，若两者存在且相等，则函数在该点可导。

---

（1）
$$
y= \begin{cases}
-x, & x<0, \\
x^{2}, & x \geqslant 0 .
\end{cases}
$$

步骤1：计算左导数
当 $x<0$ 时，$f(x) = -x$，且 $f(0)=0^2=0$。
左导数定义为：
$$
f'_-(0)=\lim_{x\to 0^-}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}
= \lim_{x\to 0^-}\frac{-x-0}{x}
= \lim_{x\to 0^-}(-1) = -1.
$$

步骤2：计算右导数
当 $x>0$ 时，$f(x)=x^2$，
右导数定义为：
$$
f'_+(0)=\lim_{x\to 0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}
= \lim_{x\to 0^+}\frac{x^{2}-0}{x}
= \lim_{x\to 0^+} x = 0.
$$

步骤3：比较左右导数
由于 $f'_-(0) = -1 \neq 0 = f'_+(0)$，左右导数不相等，故函数在 $x=0$ 处不可导。

---

（2）
$$
y= \begin{cases}
\mathrm{e}^{x}+1, & x \leqslant 0, \\
x+2, & x>0 .
\end{cases}
$$

步骤1：计算左导数
当 $x<0$ 时，$f(x)=\mathrm{e}^{x}+1$，且 $f(0)=\mathrm{e}^{0}+1=2$。
左导数：
$$
f'_-(0)=\lim_{x\to 0^-}\frac{(\mathrm{e}^{x}+1)-2}{x}
= \lim_{x\to 0^-}\frac{\mathrm{e}^{x}-1}{x}.
$$
利用极限 $\displaystyle\lim_{t\to 0}\frac{\mathrm{e}^{t}-1}{t}=1$，得：
$$
f'_-(0)=1.
$$

步骤2：计算右导数
当 $x>0$ 时，$f(x)=x+2$，且 $f(0)=2$。
右导数：
$$
f'_+(0)=\lim_{x\to 0^+}\frac{(x+2)-2}{x}
= \lim_{x\to 0^+}\frac{x}{x}=1.
$$

步骤3：比较左右导数
左右导数均为 $1$，故函数在 $x=0$ 处可导，且导数值为 $1$。

---

最终答案：
（1）不可导；
（2）可导，导数为 $1$。