人邮高数 第2章 第2-2-1题
📝 题目
1．选择题：
（1）设 $y=f(-2 x)$ ，则 $y^{\prime}=(\quad)$ ；
A．$f^{\prime}(2 x)$
B．$-f^{\prime}(-2 x)$
C．$f^{\prime}(-2 x)$
D．$-2 f^{\prime}(-2 x)$
（2）设 $f(x)=\arctan \mathrm{e}^{x}$ ，则 $f^{\prime}(x)=$ ；
A．$\displaystyle \frac{\mathrm{e}^{x}}{1+\mathrm{e}^{2 x}}$
B．$\displaystyle \frac{1}{1+\mathrm{e}^{2 x}}$
C．$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+\mathrm{e}^{2 x}}}$
D．$\displaystyle \frac{\mathrm{e}^{x}}{\sqrt{1-\mathrm{e}^{2 x}}}$
（3）设 $y=\ln x$ ，则 $y^{\prime \prime}=($ ；
A．$\displaystyle \frac{1}{x}$
B．$\displaystyle -\frac{1}{x^{2}}$
C．$\displaystyle \frac{1}{x^{2}}$
D．$\displaystyle -\frac{2}{x}$
（4）设 $f(x)=x^{3}-x^{2}+x+1$ ，则 $f^{\prime \prime}(0)=$ ；
A． 0
B． 1
C． 2
D．-2
（5）设 $y=x^{n}+\mathrm{e}^{x}$ ，则 $y^{(n)}=$ ；
A． $\mathrm{e}^{x}$
B．$n!$
C．$n!+n \mathrm{e}^{x}$
D．$n!+\mathrm{e}^{x}$
（6）设 $y=\mathrm{e}^{a x}$ ，则 $y^{(n)}=$ ．
A．$a \mathrm{e}^{a x}$
B．$a^{n} \mathrm{e}^{a x}$
C． $\mathrm{e}^{a x}$
D．$a^{2} \mathrm{e}^{a x}$
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
习题2-2 选择题解答
（1）设 $y=f(-2x)$，则 $y'$ 由复合函数求导法则：
$$
y' = f'(-2x) \cdot (-2x)' = f'(-2x) \cdot (-2) = -2 f'(-2x)
$$
故选项为 D。
（2）设 $f(x)=\arctan(\mathrm{e}^x)$，则
$$
f'(x) = \frac{1}{1+(\mathrm{e}^x)^2} \cdot (\mathrm{e}^x)' = \frac{\mathrm{e}^x}{1+\mathrm{e}^{2x}}
$$
故选项为 A。
（3）设 $y=\ln x$，则
$$
y' = \frac{1}{x}, \quad y'' = -\frac{1}{x^2}
$$
故选项为 B。
（4）设 $f(x)=x^3 - x^2 + x + 1$，则
$$
f'(x) = 3x^2 - 2x + 1, \quad f''(x) = 6x - 2
$$
代入 $x=0$ 得 $f''(0) = -2$，故选项为 D。
（5）设 $y = x^n + \mathrm{e}^x$，则
- $x^n$ 的 $n$ 阶导数为 $n!$（因为每求一次导降一次幂，$n$ 次后为常数 $n!$，再求导为0）
- $\mathrm{e}^x$ 的任意阶导数仍是 $\mathrm{e}^x$
所以
$$
y^{(n)} = n! + \mathrm{e}^x
$$
故选项为 D。
（6）设 $y = \mathrm{e}^{ax}$，则
$$
y' = a \mathrm{e}^{ax}, \quad y'' = a^2 \mathrm{e}^{ax}, \quad \dots, \quad y^{(n)} = a^n \mathrm{e}^{ax}
$$
故选项为 B。
最终答案
（1）D
（2）A
（3）B
（4）D
（5）D
（6）B