人邮高数 第2章 第2-2-19题
📝 题目
19．设 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=\ln t+\mathrm{e}^{2}, \\ y=\frac{1}{1-t},\end{array}\right.$ 求 $\displaystyle \left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{t=\frac{1}{2}}$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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已知参数方程：
$$
\begin{cases}
x = \ln t + e^{2}, \\
y = \dfrac{1}{1 - t},
\end{cases}
$$
要求 $\left.\dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}\right|_{t=\frac{1}{2}}$。
首先，由参数方程求导公式：
$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \frac{\displaystyle\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}}{\displaystyle\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}}.
$$
分别计算：
$$
\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} = \frac{1}{t}, \quad \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} (1-t)^{-1} = (-1)\cdot(-1)(1-t)^{-2} = \frac{1}{(1-t)^{2}}.
$$
因此：
$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \frac{\displaystyle\frac{1}{(1-t)^{2}}}{\displaystyle\frac{1}{t}} = \frac{t}{(1-t)^{2}}.
$$
代入 $t = \frac{1}{2}$：
$$
\left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}\right|_{t=\frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\left(1 - \frac{1}{2}\right)^{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}} = 2.
$$
最终结果：
$$
\boxed{2}
$$
难度：★☆☆☆☆