人邮高数 第2章 第2-2-5题

[AI解答]

[AI解答]

以下为各题求导过程，均使用复合函数求导法则。

---

（1） $y=\ln \left(2 x^{2}+1\right)$

由链式法则：
$$
y' = \frac{1}{2x^2+1} \cdot (4x) = \frac{4x}{2x^2+1}.
$$

---

（3） $y=\mathrm{e}^{\arctan \sqrt{x}}$

令 $u = \arctan \sqrt{x}$，则 $y = e^u$，$y' = e^u \cdot u'$。

先求 $u'$：
$$
u' = \frac{1}{1+(\sqrt{x})^2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{1+x} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}(1+x)}.
$$

因此：
$$
y' = \mathrm{e}^{\arctan \sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}(1+x)}.
$$

---

（5） $y=\sqrt{x+\sqrt{x}}$

写成幂形式：$y = (x + x^{1/2})^{1/2}$。

链式法则：
$$
y' = \frac{1}{2}(x + x^{1/2})^{-1/2} \cdot \left(1 + \frac{1}{2}x^{-1/2}\right).
$$

整理：
$$
y' = \frac{1 + \frac{1}{2\sqrt{x}}}{2\sqrt{x+\sqrt{x}}} = \frac{2\sqrt{x} + 1}{4\sqrt{x}\sqrt{x+\sqrt{x}}}.
$$

---

（7） $\displaystyle y=\arccos \frac{1}{x}$

令 $\displaystyle u = \frac{1}{x}$，则 $y = \arccos u$，$\displaystyle y' = -\frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \cdot u'$。

$\displaystyle u' = -\frac{1}{x^2}$，且
$$
\sqrt{1-u^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{x^2}} = \frac{\sqrt{x^2-1}}{|x|}.
$$

通常 $x>1$ 或 $x<-1$，取正根号时：
$$
y' = -\frac{1}{\frac{\sqrt{x^2-1}}{|x|}} \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) = \frac{|x|}{x^2\sqrt{x^2-1}}.
$$

若 $x>0$，则 $|x|=x$，得：
$$
y' = \frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}.
$$

---

（9） $\displaystyle y=\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}} \sin 3x$

使用乘积法则：
$$
y' = \left(\mathrm{e}^{-x/2}\right)' \sin 3x + \mathrm{e}^{-x/2} (\sin 3x)'.
$$

其中：
$$
\left(\mathrm{e}^{-x/2}\right)' = -\frac12 \mathrm{e}^{-x/2}, \quad (\sin 3x)' = 3\cos 3x.
$$

所以：
$$
y' = -\frac12 \mathrm{e}^{-x/2} \sin 3x + 3\mathrm{e}^{-x/2} \cos 3x = \mathrm{e}^{-x/2}\left(3\cos 3x - \frac12 \sin 3x\right).
$$

---

（11） $\displaystyle y=\ln \tan \frac{x}{2}$

令 $\displaystyle u = \tan \frac{x}{2}$，则 $y = \ln u$，$\displaystyle y' = \frac{1}{u} \cdot u'$。

$\displaystyle u' = \sec^2\frac{x}{2} \cdot \frac12$，因此：
$$
y' = \frac{1}{\tan\frac{x}{2}} \cdot \frac12 \sec^2\frac{x}{2} = \frac{\sec^2\frac{x}{2}}{2\tan\frac{x}{2}}.
$$

利用 $\sec^2 = 1+\tan^2$ 或化简：
$$
\frac{\sec^2}{2\tan} = \frac{1}{2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}} = \frac{1}{\sin x} = \csc x.
$$

所以：
$$
y' = \csc x.
$$

---

（13） $y=\ln \ln \ln x$

逐层求导：
$$
y' = \frac{1}{\ln\ln x} \cdot \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x}.
$$

即：
$$
y' = \frac{1}{x \ln x \cdot \ln\ln x}.
$$

---

（15） $\displaystyle y=\mathrm{e}^{-\sin ^{2} \frac{1}{x}}$

令 $\displaystyle u = -\sin^2\frac{1}{x}$，则 $y = e^u$，$y' = e^u \cdot u'$。

先求 $u'$：
$$
u = -\left(\sin\frac{1}{x}\right)^2,
$$
$$
u' = -2\sin\frac{1}{x} \cdot \cos\frac{1}{x} \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) = \frac{2}{x^2} \sin\frac{1}{x} \cos\frac{1}{x}.
$$

利用 $\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$，得：
$$
u' = \frac{1}{x^2} \sin\frac{2}{x}.
$$

因此：
$$
y' = \mathrm{e}^{-\sin^2\frac{1}{x}} \cdot \frac{1}{x^2} \sin\frac{2}{x}.
$$

---

（17） $y=\ln (\sec x+\tan x)$

令 $u = \sec x + \tan x$，则 $\displaystyle y' = \frac{1}{u} \cdot u'$。

$u' = \sec x \tan x + \sec^2 x = \sec x (\tan x + \sec x)$。

所以：
$$
y' = \frac{\sec x (\sec x + \tan x)}{\sec x + \tan x} = \sec x.
$$

---

以上为所有小题的求导结果。