人邮高数 第2章 第2-2-6题
📝 题目
6．设 $f(u)$ 可导，求下列函数的导数 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ ：
（1）$y=f\left(\mathrm{e}^{x^{2}}\right)$ ；
（3）$y=\arctan f(x)$ ；
（2）$y=f\left(\sin ^{2} x\right)+f\left(\cos ^{2} x\right)$ ；
（4）$y=f\left(\mathrm{e}^{2 x}+2 \ln x\right)$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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以下依次求解各小题的导数。
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（1） $y = f\left(\mathrm{e}^{x^{2}}\right)$
令 $u = \mathrm{e}^{x^{2}}$，则 $y = f(u)$。
由链式法则：
$$
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = f'(u) \cdot \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}
$$
而
$$
\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = \mathrm{e}^{x^{2}} \cdot 2x = 2x \mathrm{e}^{x^{2}}
$$
所以
$$
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = f'\left(\mathrm{e}^{x^{2}}\right) \cdot 2x \mathrm{e}^{x^{2}}
$$
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（2） $y = f\left(\sin^{2} x\right) + f\left(\cos^{2} x\right)$
分别对两项求导。
第一项：令 $u_1 = \sin^{2} x$，则
$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} f(\sin^{2} x) = f'(\sin^{2} x) \cdot 2\sin x \cos x = f'(\sin^{2} x) \sin 2x
$$
第二项：令 $u_2 = \cos^{2} x$，则
$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} f(\cos^{2} x) = f'(\cos^{2} x) \cdot 2\cos x (-\sin x) = -f'(\cos^{2} x) \sin 2x
$$
因此
$$
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \sin 2x \left[ f'(\sin^{2} x) - f'(\cos^{2} x) \right]
$$
---
（3） $y = \arctan f(x)$
由链式法则：
$$
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{1}{1 + [f(x)]^{2}} \cdot f'(x)
$$
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（4） $y = f\left(\mathrm{e}^{2x} + 2\ln x\right)$
令 $u = \mathrm{e}^{2x} + 2\ln x$，则
$$
\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = 2\mathrm{e}^{2x} + \frac{2}{x}
$$
所以
$$
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = f'\left(\mathrm{e}^{2x} + 2\ln x\right) \cdot \left(2\mathrm{e}^{2x} + \frac{2}{x}\right)
$$
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难度评级：★★☆☆☆
（均为链式法则的直接应用，计算量小，但需注意三角恒等式和对数导数细节）