习题10-5

1．求下列含参变量的积分所确定的函数的极限： （1） $\displaystyle{\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle{\int}_{x}^{1+x} \frac{\mathrm{~d} y}{1+x^{2}+y^{2}}$ ； （2） $\displaystyle{\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle{\int}_{-1}^{1} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} y$ ； （3） $\displaystyle{\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle{\int}_{0}^{2} y^{2} \cos (x y) \mathrm{d} y$ ．

2．求下列函数的导数： （1）$\varphi(x)=\displaystyle{\int}_{\sin x}^{\cos x}\left(y^{2} \sin x-y^{3}\right) \mathrm{d} y$ ； （2）$\varphi(x)=\displaystyle{\int}_{0}^{x} \frac{\ln (1+x y)}{y} \mathrm{~d} y$ ； （3）$\varphi(x)=\displaystyle{\int}_{x^{2}}^{x^{3}} \arctan \frac{y}{x} \mathrm{~d} y$ ； （4）$\varphi(x)=\displaystyle{\int}_{x}^{x^{2}} \mathrm{e}^{-x y^{2}} \mathrm{~d} y$ ．

3．设 $F(x)=\displaystyle{\int}_{0}^{x}(x+y) f(y) \mathrm{d} y$ ，其中 $f(y)$ 为可微的函数，求 $F^{\prime \prime}(x)$ ．

4．应用对参数的微分法，计算下列积分： （1）$I=\displaystyle{\int}_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln \frac{1+a \cos x}{1-a \cos x} \cdot \frac{\mathrm{~d} x}{\cos x}(|a|\lt 1)$ ； （2）$I=\displaystyle{\int}_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln \left(\cos ^{2} x+a^{2} \sin ^{2} x\right) \mathrm{d} x(a\gt 0)$ ．

5．计算下列积分： （1） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} \frac{\arctan x}{x} \frac{\mathrm{~d} x}{\sqrt{1-x^{2}}}$ ； （2） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} \sin \left(\ln \frac{1}{x}\right) \frac{x^{b}-x^{a}}{\ln x} \mathrm{~d} x(0\lt a\lt b)$ ．