习题11-1

1．设在 $x O y$ 面内有一分布着质量的曲线弧 $L$ ，在点 $(x, y)$ 处它的线密度为 $\mu(x, y)$ ．用对弧长的曲线积分分别表达： （1）这曲线弧对 $x$ 轴、对 $y$ 轴的转动惯量 $I_{x}, I_{y}$ ； （2）这曲线弧的质心坐标 $\bar{x}, \bar{y}$ ．

2．利用对弧长的曲线积分的定义证明性质 3 ．

3．计算下列对弧长的曲线积分： （1）$\displaystyle{\oint}_{L}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{n} \mathrm{~d} s$ ，其中 $L$ 为圆周 $x=a \cos t, y=a \sin t(0 \leqslant t \leqslant 2 \pi)$ ； （2） $\displaystyle{\int}_{L}(x+y) \mathrm{d} s$ ，其中 $L$ 为连接 $(1,0)$ 及 $(0,1)$ 两点的直线段； （3）$\displaystyle{\oint}_{L} x \mathrm{~d} s$ ，其中 $L$ 为由直线 $y=x$ 及抛物线 $y=x^{2}$ 所围成的区域的整个边界； （4）$\displaystyle{\oint}_{L} \mathrm{e}^{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \mathrm{~d} s$ ，其中 $L$ 为圆周 $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ ，直线 $y=x$ 及 $x$ 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界； （5） $\displaystyle{\int}_{\Gamma} \frac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \mathrm{~d} s$ ，其中 $\Gamma$ 为曲线 $x=\mathrm{e}^{t} \cos t, y=\mathrm{e}^{t} \sin t, z=\mathrm{e}^{t}$ 上相应于 $t$ 从 0 变到 2 的这段弧； （6） $\displaystyle{\int}_{\Gamma} x^{2} y z \mathrm{~d} s$ ，其中 $\Gamma$ 为折线 $A B C D$ ，这里 $A, B, C, D$ 依次为点 $(0,0,0),(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2)$ ； （7） $\displaystyle{\int}_{L} y^{2} \mathrm{~d} s$ ，其中 $L$ 为摆线的一拱 $x=a(t-\sin t), y=a(1-\cos t)(0 \leqslant t \leqslant 2 \pi)$ ； （8） $\displaystyle{\int}_{L}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} s$ ，其中 $L$ 为曲线 $x=a(\cos t+t \sin t), y=a(\sin t-t \cos t) \quad(0 \leqslant t \leqslant 2 \pi)$ ．

4．求半径为 $a$ 、圆心角为 $2 \varphi$ 的均匀圆弧（线密度 $\mu=1$ ）的质心．

5．设螺旋形弹簧一圈的方程为 $x=a \cos t, y=a \sin t, z=k t$ ，其中 $0 \leqslant t \leqslant 2 \pi$ ，它的线密度 $\rho(x, y, z)= x^{2}+y^{2}+z^{2}$ ．求： （1）它关于 $z$ 轴的转动惯量 $I_{z}$ ； （2）它的质心．