习题11-2

1．设 $L$ 为 $x O y$ 面内直线 $x=a$ 上的一段，证明： $\displaystyle{\int}_{L} P(x, y) \mathrm{d} x=0$ ．

2．设 $L$ 为 $x O y$ 面内 $x$ 轴上从点 $(a, 0)$ 到点 $(b, 0)$ 的一段直线，证明： $\displaystyle{\int}_{L} P(x, y) \mathrm{d} x=\displaystyle{\int}_{a}^{b} P(x, 0) \mathrm{d} x$ ．

3．计算下列对坐标的曲线积分： （1） $\displaystyle{\int}_{L}\left(x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} x$ ，其中 $L$ 是抛物线 $y=x^{2}$ 上从点 $(0,0)$ 到点 $(2,4)$ 的一段弧； （2）$\displaystyle{\oint}_{L} x y \mathrm{~d} x$ ，其中 $L$ 为圆周 $(x-a)^{2}+y^{2}=a^{2} \quad(a\gt 0)$ 及 $x$ 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界（按逆时针方向绕行）； （3） $\displaystyle{\int}_{L} y \mathrm{~d} x+x \mathrm{~d} y$ ，其中 $L$ 为圆周 $x=R \cos t, y=R \sin t$ 上对应 $t$ 从 0 到 $\frac{\pi}{2}$ 的一段弧； （4）$\displaystyle{\oint}_{L} \frac{(x+y) \mathrm{d} x-(x-y) \mathrm{d} y}{x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $L$ 为圆周 $x^{2}+y^{2}=a^{2}$（按逆时针方向绕行）； （5） $\displaystyle{\int}_{\Gamma} x^{2} \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\Gamma$ 为曲线 $x=k \theta, y=a \cos \theta, z=a \sin \theta$ 上对应 $\theta$ 从 0 到 $\pi$ 的一段弧； （6） $\displaystyle{\int}_{\Gamma} x \mathrm{~d} x+y \mathrm{~d} y+(x+y-1) \mathrm{d} z$ ，其中 $\Gamma$ 是从点 $(1,1,1)$ 到点 $(2,3,4)$ 的一段直线； （7）$\displaystyle{\oint}_{\Gamma} \mathrm{d} x-\mathrm{d} y+y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\Gamma$ 为有向闭折线 $A B C A$ ，这里的 $A, B, C$ 依次为点 $(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$ ； （8） $\displaystyle{\int}_{L}\left(x^{2}-2 x y\right) \mathrm{d} x+\left(y^{2}-2 x y\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $L$ 是抛物线 $y=x^{2}$ 上从点 $(-1,1)$ 到点 $(1,1)$ 的一段弧．

4．计算 $\displaystyle{\int}_{L}(x+y) \mathrm{d} x+(y-x) \mathrm{d} y$ ，其中 $L$ 是 （1）拋物线 $y^{2}=x$ 上从点 $(1,1)$ 到点 $(4,2)$ 的一段弧； （2）从点 $(1,1)$ 到点 $(4,2)$ 的直线段； （3）先沿直线从点 $(1,1)$ 到点 $(1,2)$ ，然后再沿直线到点 $(4,2)$ 的折线； （4）曲线 $x=2 t^{2}+t+1, y=t^{2}+1$ 上从点 $(1,1)$ 到点 $(4,2)$ 的一段弧．

5．一力场由沿横轴正方向的恒力 $F$ 所构成。试求当一质量为 $m$ 的质点沿圆周 $x^{2}+y^{2}=R^{2}$ 按逆时针方向移过位于第一象限的那一段弧时场力所做的功．

6．设 $z$ 轴与重力的方向一致，求质量为 $m$ 的质点从位置 $\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)$ 沿直线移到 $\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)$ 时重力所做的功．

7．把对坐标的曲线积分 $\displaystyle{\int}_{L} P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y$ 化成对弧长的曲线积分，其中 $L$ 为 （1）在 $x O y$ 面内沿直线从点 $(0,0)$ 到点 $(1,1)$ ； （2）沿抛物线 $y=x^{2}$ 从点 $(0,0)$ 到点 $(1,1)$ ； （3）沿上半圆周 $x^{2}+y^{2}=2 x$ 从点 $(0,0)$ 到点 $(1,1)$ ．

8．设 $\Gamma$ 为曲线 $x=t, y=t^{2}, z=t^{3}$ 上相应于 $t$ 从 0 变到 1 的曲线弧，把对坐标的曲线积分 $\displaystyle{\int}_{\Gamma} P \mathrm{~d} x+$ $Q \mathrm{~d} y+R \mathrm{~d} z$ 化成对弧长的曲线积分．

9．设曲线 $\Gamma$ 为球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 与平面 $x+y+z=0$ 的交线，从 $z$ 轴的正向看取逆时针方向， $$ I=\displaystyle{\oint}_{\Gamma} z \mathrm{~d} x+x \mathrm{~d} y+y \mathrm{~d} z $$ 试利用两类曲线积分之间的关系证明：$|I| \leqslant 2 \pi a^{2}$ ．