习题12-2

1．以下各题中给出了四个结论，从中选出一个正确的结论： （1）设 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 是收敛的正项级数，$b_{n}=\frac{1-\cos a_{n}}{a_{n}}, c_{n}=\frac{1-\cos \sqrt{a_{n}}}{\sqrt{a_{n}}}$ ．则有 ； （A）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 和 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} c_{n}$ 均收敛 （B）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收敛，$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} c_{n}$ 敛散性不确定 （C）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 和 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} c_{n}$ 均发散 （D）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 发散，$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} c_{n}$ 敛散性不确定 （2）设有两个数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 和 $\left\{b_{n}\right\}$ ，若 $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ ，则有 ． （A）当 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收敛时，$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ 收敛 （B）当 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 发散时，$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ 发散 （C）当 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}\left|b_{n}\right|$ 收敛时，$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}\left|a_{n} b_{n}\right|$ 收敛 （D）当 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}\left|b_{n}\right|$ 发散时，$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}\left|a_{n} b_{n}\right|$ 发散

2．用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判定下列级数的收敛性： （1） $1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{2 n-1}+\cdots$ ； （2） $1+\frac{1+2}{1+2^{2}}+\frac{1+3}{1+3^{2}}+\cdots+\frac{1+n}{1+n^{2}}+\cdots$ ； （3）$\frac{1}{2 \times 5}+\frac{1}{3 \times 6}+\cdots+\frac{1}{(n+1)(n+4)}+\cdots$ ； （4） $\sin \frac{\pi}{2}+\sin \frac{\pi}{2^{2}}+\sin \frac{\pi}{2^{3}}+\cdots+\sin \frac{\pi}{2^{n}}+\cdots$ ； （5）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+a^{n}}(a\gt 0)$ ．

3．用比值审敛法判定下列级数的收敛性： （1）$\frac{3}{1 \times 2}+\frac{3^{2}}{2 \times 2^{2}}+\frac{3^{3}}{3 \times 2^{3}}+\cdots+\frac{3^{n}}{n \times 2^{n}}+\cdots$ ； （2）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{3^{n}}$ ； （3）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n} \times n!}{n^{n}}$ ； （4）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} n \tan \frac{\pi}{2^{n+1}}$ ．

5．判定下列级数的收敛性： （1）$\frac{3}{4}+2\left(\frac{3}{4}\right)^{2}+3\left(\frac{3}{4}\right)^{3}+\cdots+n\left(\frac{3}{4}\right)^{n}+\cdots$ ； （2）$\frac{1^{4}}{1!}+\frac{2^{4}}{2!}+\frac{3^{4}}{3!}+\cdots+\frac{n^{4}}{n!}+\cdots$ ； （3）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n(n+2)}$ ； （4）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} 2^{n} \sin \frac{\pi}{3^{n}}$ ； （5）$\sqrt{2}+\sqrt{\frac{3}{2}}+\cdots+\sqrt{\frac{n+1}{n}}+\cdots$ ； （6）$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{2 a+b}+\cdots+\frac{1}{n a+b}+\cdots \quad(a\gt 0, b\gt 0)$ ．

6．判定下列级数是否收敛，如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ （1） $1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{4}}+\cdots+\frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n}}+\cdots$ ； （2）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{n}{3^{n-1}}$ ； （3）$\frac{1}{3} \times \frac{1}{2}-\frac{1}{3} \times \frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3} \times \frac{1}{2^{3}}-\frac{1}{3} \times \frac{1}{2^{4}}+\cdots+(-1)^{n-1} \frac{1}{3} \times \frac{1}{2^{n}}+\cdots$ ； （4）$\frac{1}{\ln 2}-\frac{1}{\ln 3}+\frac{1}{\ln 4}-\frac{1}{\ln 5}+\cdots+(-1)^{n-1} \frac{1}{\ln (n+1)}+\cdots$ ； （5）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{2^{n^{2}}}{n!}$ ．

＊4．用根值审敛法判定下列级数的收敛性： （1）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{2 n+1}\right)^{n}$ ； （2）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{1}{[\ln (n+1)]^{n}}$ ； （3）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{3 n-1}\right)^{2 n-1}$ ； （4）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}\left(\frac{b}{a_{n}}\right)^{n}$ ，其中 $a_{n} \rightarrow a(n \rightarrow \infty), a_{n}, b, a$ 均为正数．