同济高数 第12章 第12-2-*4题
📝 题目
＊4．用根值审敛法判定下列级数的收敛性：
（1）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{2 n+1}\right)^{n}$ ；
（2）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{1}{[\ln (n+1)]^{n}}$ ；
（3）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{3 n-1}\right)^{2 n-1}$ ；
（4）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}\left(\frac{b}{a_{n}}\right)^{n}$ ，其中 $a_{n} \rightarrow a(n \rightarrow \infty), a_{n}, b, a$ 均为正数．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
根值审敛法（柯西判别法）：
若正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 满足 $\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{u_n} = \rho$，则
- 当 $\rho < 1$ 时，级数收敛；
- 当 $\rho > 1$ 时，级数发散；
- 当 $\rho = 1$ 时，无法判定。
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（1）$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{2 n+1}\right)^{n}}$
令
$$
u_n = \left(\frac{n}{2n+1}\right)^n
$$
则
$$
\sqrt[n]{u_n} = \frac{n}{2n+1}
$$
取极限：
$$
\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{u_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{2n+1} = \frac{1}{2} < 1
$$
因此级数收敛。
难度：★☆☆☆☆
---
（2）$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{[\ln (n+1)]^{n}}}$
令
$$
u_n = \frac{1}{[\ln(n+1)]^n}
$$
则
$$
\sqrt[n]{u_n} = \frac{1}{\ln(n+1)}
$$
取极限：
$$
\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{u_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{\ln(n+1)} = 0 < 1
$$
因此级数收敛。
难度：★☆☆☆☆
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（3）$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{3 n-1}\right)^{2 n-1}}$
令
$$
u_n = \left(\frac{n}{3n-1}\right)^{2n-1}
$$
则
$$
\sqrt[n]{u_n} = \left(\frac{n}{3n-1}\right)^{\frac{2n-1}{n}}
$$
化简指数：
$$
\frac{2n-1}{n} = 2 - \frac{1}{n}
$$
于是
$$
\sqrt[n]{u_n} = \left(\frac{n}{3n-1}\right)^{2 - \frac{1}{n}}
$$
取极限：
$$
\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{u_n} = \left(\lim_{n\to\infty} \frac{n}{3n-1}\right)^{2} = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9} < 1
$$
因此级数收敛。
难度：★★☆☆☆
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（4）$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{b}{a_{n}}\right)^{n}}$，其中 $a_{n} \rightarrow a(n \rightarrow \infty), a_{n}, b, a$ 均为正数
令
$$
u_n = \left(\frac{b}{a_n}\right)^n
$$
则
$$
\sqrt[n]{u_n} = \frac{b}{a_n}
$$
取极限：
$$
\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{u_n} = \frac{b}{a}
$$
因此：
- 若 $\displaystyle \frac{b}{a} < 1$，即 $b < a$，则级数收敛；
- 若 $\displaystyle \frac{b}{a} > 1$，即 $b > a$，则级数发散；
- 若 $\displaystyle \frac{b}{a} = 1$，即 $b = a$，则根值审敛法失效，需另作判断。
难度：★★☆☆☆