习题12-5

1．利用函数的幂级数展开式求下列各数的近似值： （1） $\ln 3$（误差不超过 0.0001 ）； （2）$\sqrt{\mathrm{e}}$（误差不超过 0.001 ）； （3）$\sqrt[9]{522}$（误差不超过 0.000 01）； （4） $\cos 2^{\circ}$（误差不超过 0.0001 ）．

2．利用被积函数的幂级数展开式求下列定积分的近似值： （1） $\displaystyle{\int}_{0}^{0.5} \frac{1}{1+x^{4}} \mathrm{~d} x$（误差不超过 0.0001 ）； （2） $\displaystyle{\int}_{0}^{0.5} \frac{\arctan x}{x} \mathrm{~d} x$（误差不超过 0.001 ）．

3．试用幂级数求下列各微分方程的解： （1）$y^{\prime}-x y-x=1$ ； （2）$y^{\prime \prime}+x y^{\prime}+y=0$ ； （3）$(1-x) y^{\prime}=x^{2}-y$ ．

4．试用幂级数求下列方程满足所给初值条件的特解： （1）$y^{\prime}=y^{2}+x^{3},\left.y\right|_{x=0}=\frac{1}{2}$ ； （2）$(1-x) y^{\prime}+y=1+x,\left.y\right|_{x=0}=0$ ．

5．验证函数 $y(x)=1+\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{6}}{6!}+\cdots+\frac{x^{3 n}}{(3 n)!}+\cdots(-\infty\lt x\lt +\infty)$ 满足微分方程 $y^{\prime \prime}+y^{\prime}+y=\mathrm{e}^{x}$ ，并利用此结果求幂级数 $\displaystyle{\sum}_{n=0}^{\infty} \frac{x^{3 n}}{(3 n)!}$ 的和函数．

6．利用欧拉公式将函数 $\mathrm{e}^{x} \cos x$ 展开成 $x$ 的幂级数．