习题12-6

1．已知函数序列 $s_{n}(x)=\sin \frac{x}{n}(n=1,2,3, \cdots)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上收敛于 0 ， （1）问 $N(\varepsilon, x)$ 取多大，能使当 $n\gt N$ 时，$s_{n}(x)$ 与其极限之差的绝对值小于正数 $\varepsilon$ ； （2）证明 $s_{n}(x)$ 在任一有限区间 $[a, b]$ 上一致收敛．

2．已知级数 $x^{2}+\frac{x^{2}}{1+x^{2}}+\frac{x^{2}}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}+\cdots$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上收敛． （1）求出该级数的和； （2）问 $N(\varepsilon, x)$ 取多大，能使当 $n\gt N$ 时，级数的余项 $r_{n}$ 的绝对值小于正数 $\varepsilon$ ； （3）分别讨论级数在区间 $[0,1],\left[\frac{1}{2}, 1\right]$ 上的一致收敛性．

3．按定义讨论下列级数在所给区间上的一致收敛性： （1）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{x^{2}}{\left(1+x^{2}\right)^{n}},(-\infty,+\infty)$ ； （2）$\displaystyle{\sum}_{n=0}^{\infty}(1-x) x^{n},(0,1)$ ．

4．利用魏尔斯特拉斯判别法证明下列级数在所给区间上的一致收敛性： （1）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{\cos n x}{2^{n}},(-\infty,+\infty)$ ； （2）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{\sqrt[3]{n^{4}+x^{4}}},(-\infty,+\infty)$ ； （3）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} x^{2} \mathrm{e}^{-n x},[0,+\infty)$ ； （4）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{\mathrm{e}^{-n x}}{n!},(-10,10)$ ； （5）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}\left(1-\mathrm{e}^{-n x}\right)}{n^{2}+x^{2}},[0,+\infty)$ ．