习题12-8

1．将下列各周期函数展开成傅里叶级数（下面给出函数在一个周期内的表达式）： （1）$f(x)=1-x^{2}\left(-\frac{1}{2} \leqslant x\lt \frac{1}{2}\right)$ ； （2）$f(x)= \begin{cases}x, & -1 \leqslant x\lt 0, \\ 1, & 0 \leqslant x\lt \frac{1}{2}, \\ -1 & \frac{1}{2} \leqslant x\lt 1 ;\end{cases}$ （3）$f(x)= \begin{cases}2 x+1, & -3 \leqslant x\lt 0, \\ 1, & 0 \leqslant x\lt 3 .\end{cases}$

2．将下列函数分别展开成正弦级数和余弦级数： （1）$f(x)= \begin{cases}x, & 0 \leqslant x\lt \frac{l}{2}, \\ l-x, & \frac{l}{2} \leqslant x \leqslant l ;\end{cases}$ （2）$f(x)=x^{2} \quad(0 \leqslant x \leqslant 2)$ ．

＊3．设 $f(x)$ 是周期为 2 的周期函数，它在 $[-1,1)$ 上的表达式为 $f(x)=\mathrm{e}^{-x}$ ．试将 $f(x)$ 展开成复数形式的傅里叶级数．

＊4．设 $u(t)$ 是周期为 $T$ 的周期函数．已知它的傅里叶级数的复数形式为（参阅本节例题） $$ u(t)=\frac{h \tau}{T}+\frac{h}{\pi} \displaystyle{\sum}_{\substack{n=-\infty \\ n \neq 0}}^{\infty} \frac{1}{n} \sin \frac{n \pi \tau}{T} \mathrm{e}^{\frac{2 n \pi t}{T} \mathrm{i}} \quad(-\infty\lt t\lt +\infty) $$ 试写出 $u(t)$ 的傅里叶级数的实数形式（即三角形式）．