同济高数 第12章 第12-8-1题

[AI解答]

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（1） 周期函数 $f(x)=1-x^{2}$，周期 $T=1$，半周期 $l=\frac12$。
傅里叶级数形式：
$$
f(x) \sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos(2n\pi x)+b_n\sin(2n\pi x)\right)
$$
计算系数：
$$
a_0 = \frac{2}{T}\int_{-l}^{l}f(x)\,dx = 2\int_{-\frac12}^{\frac12}(1-x^2)\,dx
=2\left[ x-\frac{x^3}{3} \right]_{-\frac12}^{\frac12}
=2\left( \left(\frac12-\frac1{24}\right)-\left(-\frac12+\frac1{24}\right) \right)
=2\left(1-\frac1{12}\right)=\frac{11}{6}
$$
$$
a_n = 2\int_{-\frac12}^{\frac12}(1-x^2)\cos(2n\pi x)\,dx
$$
利用奇偶性：$1-x^2$ 为偶函数，$\cos$ 为偶函数，故
$$
a_n = 4\int_{0}^{\frac12}(1-x^2)\cos(2n\pi x)\,dx
$$
先计算积分：
$$
\int (1-x^2)\cos(2n\pi x)\,dx
$$
分部积分两次，或直接查表得：
$$
\int_0^{\frac12}(1-x^2)\cos(2n\pi x)\,dx
= \frac{(-1)^n}{2n^2\pi^2}
$$
因此
$$
a_n = \frac{4(-1)^n}{2n^2\pi^2} = \frac{2(-1)^n}{n^2\pi^2}
$$
又因为 $f(x)$ 为偶函数，所以 $b_n=0$。

故傅里叶级数为：
$$
f(x) \sim \frac{11}{12} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2(-1)^n}{n^2\pi^2} \cos(2n\pi x)
$$

（2） 周期 $T=2$，半周期 $l=1$。
傅里叶级数形式：
$$
f(x) \sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos(n\pi x)+b_n\sin(n\pi x)\right)
$$
计算：
$$
a_0 = \frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\,dx = \int_{-1}^{1}f(x)\,dx
= \int_{-1}^{0}x\,dx + \int_{0}^{\frac12}1\,dx + \int_{\frac12}^{1}(-1)\,dx
$$
$$
= \left[\frac{x^2}{2}\right]_{-1}^{0} + \left[x\right]_{0}^{\frac12} + \left[-x\right]_{\frac12}^{1}
= \left(0-\frac12\right) + \frac12 + \left(-1+\frac12\right)
= -\frac12+\frac12-\frac12 = -\frac12
$$
所以 $\frac{a_0}{2} = -\frac14$。

$$
a_n = \frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\cos(n\pi x)\,dx
= \int_{-1}^{0}x\cos(n\pi x)\,dx + \int_{0}^{\frac12}\cos(n\pi x)\,dx + \int_{\frac12}^{1}(-1)\cos(n\pi x)\,dx
$$
逐项计算：
第一项：
$$
\int_{-1}^{0}x\cos(n\pi x)\,dx = \left[ \frac{x\sin(n\pi x)}{n\pi}+\frac{\cos(n\pi x)}{n^2\pi^2} \right]_{-1}^{0}
= \left(0+\frac{1}{n^2\pi^2}\right) - \left(0+\frac{\cos(-n\pi)}{n^2\pi^2}\right)
= \frac{1-(-1)^n}{n^2\pi^2}
$$
第二项：
$$
\int_{0}^{\frac12}\cos(n\pi x)\,dx = \left[\frac{\sin(n\pi x)}{n\pi}\right]_{0}^{\frac12}
= \frac{\sin(\frac{n\pi}{2})}{n\pi}
$$
第三项：
$$
\int_{\frac12}^{1}(-1)\cos(n\pi x)\,dx = -\left[\frac{\sin(n\pi x)}{n\pi}\right]_{\frac12}^{1}
= -\frac{\sin(n\pi)-\sin(\frac{n\pi}{2})}{n\pi}
= \frac{\sin(\frac{n\pi}{2})}{n\pi}
$$
因此：
$$
a_n = \frac{1-(-1)^n}{n^2\pi^2} + \frac{2\sin(\frac{n\pi}{2})}{n\pi}
$$

$$
b_n = \frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\sin(n\pi x)\,dx
= \int_{-1}^{0}x\sin(n\pi x)\,dx + \int_{0}^{\frac12}\sin(n\pi x)\,dx + \int_{\frac12}^{1}(-1)\sin(n\pi x)\,dx
$$
第一项：
$$
\int_{-1}^{0}x\sin(n\pi x)\,dx = \left[ -\frac{x\cos(n\pi x)}{n\pi}+\frac{\sin(n\pi x)}{n^2\pi^2} \right]_{-1}^{0}
= \left(0+0\right) - \left( -\frac{(-1)\cos(-n\pi)}{n\pi} + 0 \right)
= -\frac{(-1)^n}{n\pi}
$$
第二项：
$$
\int_{0}^{\frac12}\sin(n\pi x)\,dx = \left[-\frac{\cos(n\pi x)}{n\pi}\right]_{0}^{\frac12}
= -\frac{\cos(\frac{n\pi}{2})}{n\pi} + \frac{1}{n\pi}
$$
第三项：
$$
\int_{\frac12}^{1}(-1)\sin(n\pi x)\,dx = \left[\frac{\cos(n\pi x)}{n\pi}\right]_{\frac12}^{1}
= \frac{\cos(n\pi)}{n\pi} - \frac{\cos(\frac{n\pi}{2})}{n\pi}
$$
合并：
$$
b_n = -\frac{(-1)^n}{n\pi} -\frac{\cos(\frac{n\pi}{2})}{n\pi}+\frac{1}{n\pi}
+ \frac{(-1)^n}{n\pi} - \frac{\cos(\frac{n\pi}{2})}{n\pi}
= \frac{1}{n\pi} - \frac{2\cos(\frac{n\pi}{2})}{n\pi}
$$
因此傅里叶级数为：
$$
f(x) \sim -\frac14 + \sum_{n=1}^{\infty}\left[ \left(\frac{1-(-1)^n}{n^2\pi^2}+\frac{2\sin(\frac{n\pi}{2})}{n\pi}\right)\cos(n\pi x) + \left(\frac{1}{n\pi}-\frac{2\cos(\frac{n\pi}{2})}{n\pi}\right)\sin(n\pi x) \right]
$$

（3） 周期 $T=6$，半周期 $l=3$。
傅里叶级数形式：
$$
f(x) \sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos\frac{n\pi x}{3}+b_n\sin\frac{n\pi x}{3}\right)
$$
计算：
$$
a_0 = \frac{1}{3}\int_{-3}^{3}f(x)\,dx = \frac13\left( \int_{-3}^{0}(2x+1)\,dx + \int_{0}^{3}1\,dx \right)
$$
$$
= \frac13\left( \left[x^2+x\right]_{-3}^{0} + \left[x\right]_{0}^{3} \right)
= \frac13\left( (0-0) - (9-3) + 3 \right)
= \frac13(-6+3) = -1
$$
所以 $\frac{a_0}{2} = -\frac12$。

$$
a_n = \frac13\left( \int_{-3}^{0}(2x+1)\cos\frac{n\pi x}{3}\,dx + \int_{0}^{3}\cos\frac{n\pi x}{3}\,dx \right)
$$
先计算第一积分：
$$
\int (2x+1)\cos(kx)\,dx,\quad k=\frac{n\pi}{3}
$$
分部积分：
$$
\int (2x+1)\cos(kx)\,dx = \frac{2x+1}{k}\sin(kx) + \frac{2}{k^2}\cos(kx)
$$
代入上下限 $-3$ 到