同济高数 第7章 第7-5-4题
📝 题目
4．试求 $y^{\prime \prime}=x$ 的经过点 $M(0,1)$ 且在此点与直线 $\displaystyle y=\frac{x}{2}+1$ 相切的积分曲线．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们要求解微分方程
$$
y'' = x
$$
满足初始条件：曲线经过点 $M(0,1)$，且在 $x=0$ 处与直线 $y = \frac{x}{2} + 1$ 相切。
第一步：确定初始条件
曲线经过点 $M(0,1)$，即
$$
y(0) = 1
$$
在 $x=0$ 处与直线相切，意味着在该点导数相等。直线的斜率为 $\frac{1}{2}$，所以
$$
y'(0) = \frac{1}{2}
$$
第二步：逐次积分
由
$$
y'' = x
$$
对 $x$ 积分一次得
$$
y' = \int x \, dx = \frac{x^2}{2} + C_1
$$
代入 $y'(0) = \frac{1}{2}$：
$$
\frac{0^2}{2} + C_1 = \frac{1}{2} \quad\Rightarrow\quad C_1 = \frac{1}{2}
$$
所以
$$
y' = \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2}
$$
再积分一次：
$$
y = \int \left( \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2} \right) dx = \frac{x^3}{6} + \frac{x}{2} + C_2
$$
代入 $y(0) = 1$：
$$
0 + 0 + C_2 = 1 \quad\Rightarrow\quad C_2 = 1
$$
第三步：写出积分曲线
因此所求曲线为
$$
\boxed{y = \frac{x^3}{6} + \frac{x}{2} + 1}
$$
难度评级：★☆☆☆☆
（只需两次简单积分并代入初始条件，无复杂技巧）