同济高数 第7章 第7-6-*6题
📝 题目
＊6．已知 $y_{1}(x)=x$ 是齐次线性方程 $x^{2} y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+2 y=0$ 的一个解，求非齐次线性方程 $x^{2} y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+$
$2 y=2 x^{3}$ 的通解．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
已知 $y_1(x)=x$ 是齐次方程
$$
x^{2} y'' - 2x y' + 2y = 0
$$
的一个解，要求非齐次方程
$$
x^{2} y'' - 2x y' + 2y = 2x^{3}
$$
的通解。
第一步：用常数变易法求另一个齐次解
设齐次方程的另一解为 $y_2 = v(x) \cdot y_1 = v(x) \cdot x$。
代入齐次方程，先计算导数：
$$
y_2 = x v,\quad y_2' = v + x v',\quad y_2'' = 2v' + x v''
$$
代入齐次方程：
$$
x^{2}(2v' + x v'') - 2x(v + x v') + 2x v = 0
$$
化简：
$$
2x^{2}v' + x^{3}v'' - 2x v - 2x^{2}v' + 2x v = 0
$$
可见 $2x^{2}v'$ 与 $-2x^{2}v'$ 抵消，$-2xv$ 与 $+2xv$ 抵消，剩下
$$
x^{3} v'' = 0 \quad\Rightarrow\quad v'' = 0
$$
积分得 $v' = C_1$，再积分得 $v = C_1 x + C_2$。
取简单形式 $v = x$，则 $y_2 = x \cdot x = x^{2}$。
因此齐次方程通解为
$$
y_h = C_1 x + C_2 x^{2}
$$
第二步：求非齐次方程的一个特解
用常数变易法，设特解形式
$$
y_p = u_1(x) \cdot x + u_2(x) \cdot x^{2}
$$
满足条件：
$$
u_1' x + u_2' x^{2} = 0
$$
$$
u_1' \cdot 1 + u_2' \cdot 2x = \frac{2x^{3}}{x^{2}} = 2x
$$
（这里右端是将非齐次项除以 $x^{2}$ 得到的标准形式，因为方程已化为 $\displaystyle y'' - \frac{2}{x}y' + \frac{2}{x^{2}}y = 2x$）
解方程组：
由第一式得 $u_1' = -x u_2'$，代入第二式：
$$
- x u_2' + 2x u_2' = x u_2' = 2x \quad\Rightarrow\quad u_2' = 2
$$
于是 $u_2 = 2x$，进而 $u_1' = -x \cdot 2 = -2x$，积分得 $u_1 = -x^{2}$（取一个原函数即可）。
因此特解为
$$
y_p = (-x^{2}) \cdot x + (2x) \cdot x^{2} = -x^{3} + 2x^{3} = x^{3}
$$
第三步：写出非齐次方程的通解
$$
y = y_h + y_p = C_1 x + C_2 x^{2} + x^{3}
$$
难度：★★☆☆☆