同济高数 第7章 第7-7-3题
📝 题目
3．求下列微分方程满足所给初值条件的特解：
（1）$y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+3 y=0,\left.y\right|_{x=0}=6,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=10$ ；
（2） $4 y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+y=0,\left.y\right|_{x=0}=2,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=0$ ；
（3）$y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}-4 y=0,\left.y\right|_{x=0}=0,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=-5$ ；
（4）$y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+29 y=0,\left.y\right|_{x=0}=0,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=15$ ；
（5）$y^{\prime \prime}+25 y=0,\left.y\right|_{x=0}=2,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=5$ ；
（6）$y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+13 y=0,\left.y\right|_{x=0}=0,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=3$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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以下是各小题的详细求解过程。
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(1)
方程：
$$
y'' - 4y' + 3y = 0
$$
特征方程：
$$
r^2 - 4r + 3 = 0 \quad\Rightarrow\quad (r-1)(r-3)=0
$$
解得 $ r_1 = 1,\ r_2 = 3 $，通解为
$$
y = C_1 e^{x} + C_2 e^{3x}
$$
由初值条件：
$$
y(0) = C_1 + C_2 = 6
$$
$$
y'(0) = C_1 + 3C_2 = 10
$$
相减得 $ 2C_2 = 4 \Rightarrow C_2 = 2 $，则 $ C_1 = 4 $。
特解：
$$
\boxed{y = 4e^{x} + 2e^{3x}}
$$
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(2)
方程：
$$
4y'' + 4y' + y = 0
$$
特征方程：
$$
4r^2 + 4r + 1 = 0 \quad\Rightarrow\quad (2r+1)^2 = 0
$$
解得 $ r = -\frac{1}{2} $（二重根），通解为
$$
y = (C_1 + C_2 x)e^{-\frac{1}{2}x}
$$
由初值：
$$
y(0) = C_1 = 2
$$
$$
y'(0) = C_2 - \frac{1}{2}C_1 = 0 \quad\Rightarrow\quad C_2 - 1 = 0 \Rightarrow C_2 = 1
$$
特解：
$$
\boxed{y = (2 + x)e^{-\frac{x}{2}}}
$$
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(3)
方程：
$$
y'' - 3y' - 4y = 0
$$
特征方程：
$$
r^2 - 3r - 4 = 0 \quad\Rightarrow\quad (r-4)(r+1)=0
$$
解得 $ r_1 = 4,\ r_2 = -1 $，通解为
$$
y = C_1 e^{4x} + C_2 e^{-x}
$$
由初值：
$$
y(0) = C_1 + C_2 = 0
$$
$$
y'(0) = 4C_1 - C_2 = -5
$$
相加得 $ 5C_1 = -5 \Rightarrow C_1 = -1 $，则 $ C_2 = 1 $。
特解：
$$
\boxed{y = -e^{4x} + e^{-x}}
$$
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(4)
方程：
$$
y'' + 4y' + 29y = 0
$$
特征方程：
$$
r^2 + 4r + 29 = 0 \quad\Rightarrow\quad r = -2 \pm 5i
$$
通解为
$$
y = e^{-2x}(C_1 \cos 5x + C_2 \sin 5x)
$$
由初值：
$$
y(0) = C_1 = 0
$$
$$
y'(0) = -2C_1 + 5C_2 = 15 \quad\Rightarrow\quad 5C_2 = 15 \Rightarrow C_2 = 3
$$
特解：
$$
\boxed{y = 3e^{-2x} \sin 5x}
$$
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(5)
方程：
$$
y'' + 25y = 0
$$
特征方程：
$$
r^2 + 25 = 0 \quad\Rightarrow\quad r = \pm 5i
$$
通解为
$$
y = C_1 \cos 5x + C_2 \sin 5x
$$
由初值：
$$
y(0) = C_1 = 2
$$
$$
y'(0) = 5C_2 = 5 \quad\Rightarrow\quad C_2 = 1
$$
特解：
$$
\boxed{y = 2\cos 5x + \sin 5x}
$$
---
(6)
方程：
$$
y'' - 4y' + 13y = 0
$$
特征方程：
$$
r^2 - 4r + 13 = 0 \quad\Rightarrow\quad r = 2 \pm 3i
$$
通解为
$$
y = e^{2x}(C_1 \cos 3x + C_2 \sin 3x)
$$
由初值：
$$
y(0) = C_1 = 0
$$
$$
y'(0) = 2C_1 + 3C_2 = 3 \quad\Rightarrow\quad 3C_2 = 3 \Rightarrow C_2 = 1
$$
特解：
$$
\boxed{y = e^{2x} \sin 3x}
$$
---
难度评级：★☆☆☆☆
均为标准常系数齐次线性微分方程，解法固定，只需解特征方程并代入初值即可。
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：写出特征方程并求解
对于方程 y'' - 4y' + 3y = 0，特征方程为 r^2 - 4r + 3 = 0，解得 r1=1, r2=3。
公式：r^2 - 4r + 3 = 0
提示：特征方程由 y'' 对应 r^2，y' 对应 r，y 对应常数项。
步骤 2/4
目标：写出通解形式
由于有两个不等实根，通解为 y = C1 e^{x} + C2 e^{3x}。
公式：y = C1 e^{r1 x} + C2 e^{r2 x}
提示：不等实根时通解为指数函数线性组合。
步骤 3/4
目标：利用初值条件确定常数
由 y(0)=6 得 C1 + C2 = 6；由 y'(0)=10 得 C1 + 3C2 = 10。解得 C1=4, C2=2。
公式：y(0)=C1+C2=6, y'(0)=C1+3C2=10
提示：代入 x=0 时，e^0=1。
步骤 4/4
目标：写出特解
特解为 y = 4e^{x} + 2e^{3x}。
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