同济高数 第7章 第7-7-4题

[AI解答]

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我们设质点在时刻 $t$ 的位置为 $x(t)$，初始条件为：
$$
x(0)=0,\quad x'(0)=v_0 > 0.
$$

质点受到两个力：
- 与到原点距离成正比的力，方向与初速度一致，即沿 $x$ 轴正方向，大小为 $k_1|x(t)|$。由于初始向正方向运动，且力也指向正方向，在运动过程中 $x(t)\ge 0$，因此这个力为 $k_1 x(t)$。
- 介质阻力与速度成正比，方向与速度相反，大小为 $k_2 v(t)$，即 $-k_2 x'(t)$。

由牛顿第二定律（质量为单位质量）：
$$
x''(t) = k_1 x(t) - k_2 x'(t).
$$

整理得二阶线性常系数微分方程：
$$
x'' + k_2 x' - k_1 x = 0.
$$

特征方程为：
$$
r^2 + k_2 r - k_1 = 0,
$$
解得：
$$
r = \frac{-k_2 \pm \sqrt{k_2^2 + 4k_1}}{2}.
$$
记
$$
\Delta = k_2^2 + 4k_1 > 0,
$$
则两个实根为：
$$
r_1 = \frac{-k_2 + \sqrt{\Delta}}{2} > 0,\quad r_2 = \frac{-k_2 - \sqrt{\Delta}}{2} < 0.
$$

因此通解为：
$$
x(t) = C_1 e^{r_1 t} + C_2 e^{r_2 t}.
$$

代入初始条件：
$$
x(0) = C_1 + C_2 = 0 \quad\Rightarrow\quad C_2 = -C_1.
$$
$$
x'(t) = C_1 r_1 e^{r_1 t} + C_2 r_2 e^{r_2 t},
$$
$$
x'(0) = C_1 r_1 + C_2 r_2 = C_1(r_1 - r_2) = v_0.
$$
由于
$$
r_1 - r_2 = \sqrt{\Delta},
$$
得
$$
C_1 = \frac{v_0}{\sqrt{\Delta}},\quad C_2 = -\frac{v_0}{\sqrt{\Delta}}.
$$

所以运动规律为：
$$
x(t) = \frac{v_0}{\sqrt{k_2^2 + 4k_1}} \left( e^{\frac{-k_2 + \sqrt{k_2^2+4k_1}}{2}\, t} - e^{\frac{-k_2 - \sqrt{k_2^2+4k_1}}{2}\, t} \right).
$$

可以写成双曲正弦形式：
$$
x(t) = \frac{2v_0}{\sqrt{k_2^2+4k_1}}\, e^{-\frac{k_2}{2}t}\, \sinh\!\left( \frac{\sqrt{k_2^2+4k_1}}{2}\, t \right).
$$

这就是质点的运动函数。

难度：★★★☆☆
（涉及二阶常系数线性微分方程求解与物理建模，计算稍复杂但思路常规）