同济高数 第7章 第7-7-5题
📝 题目
5．在图7－13所示的电路中先将开关 S 拨向 $A$ ，达到稳定状态后再将开关 S 拨向 $B$ ，求电压 $u_{C}(t)$ 及电流 $i(t)$ 。已知 $E= 20 \mathrm{~V}, C=0.5 \times 10^{-6} \mathrm{~F}, L=0.1 \mathrm{H}, R=2000 \Omega$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
这是一个RLC串联电路，开关先接A，电容充电至稳态电压 $E$，然后开关拨向B，形成RLC放电回路。
已知：
$E = 20\,\mathrm{V}$，
$C = 0.5\times 10^{-6}\,\mathrm{F}$，
$L = 0.1\,\mathrm{H}$，
$R = 2000\,\Omega$。
第一步：确定电路参数与放电类型
先计算特征参数：
$$
\alpha = \frac{R}{2L} = \frac{2000}{2\times 0.1} = 10000\ \mathrm{s^{-1}}
$$
$$
\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} = \frac{1}{\sqrt{0.1 \times 0.5\times 10^{-6}}}
= \frac{1}{\sqrt{5\times 10^{-8}}} = \frac{1}{\sqrt{5}\times 10^{-4}}
= \frac{10^4}{\sqrt{5}} \approx 4472.1\ \mathrm{rad/s}
$$
比较 $\alpha$ 与 $\omega_0$：
$$
\alpha > \omega_0
$$
因此电路为过阻尼情况。
第二步：写出微分方程与通解形式
开关拨向B后，回路方程为：
$$
L\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} + Ri + u_C = 0
$$
且 $i = C\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}$，代入得：
$$
LC\frac{\mathrm{d}^2 u_C}{\mathrm{d}t^2} + RC\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} + u_C = 0
$$
特征方程：
$$
LC s^2 + RC s + 1 = 0
$$
代入数值：
$$
0.1\times 0.5\times 10^{-6} s^2 + 2000\times 0.5\times 10^{-6} s + 1 = 0
$$
即：
$$
5\times 10^{-8} s^2 + 1\times 10^{-3} s + 1 = 0
$$
乘以 $10^8$：
$$
5 s^2 + 10^5 s + 10^8 = 0
$$
解：
$$
s_{1,2} = \frac{-10^5 \pm \sqrt{10^{10} - 20\times 10^8}}{10}
= \frac{-10^5 \pm \sqrt{10^{10} - 2\times 10^9}}{10}
= \frac{-10^5 \pm \sqrt{8\times 10^9}}{10}
$$
$$
\sqrt{8\times 10^9} = \sqrt{8}\times 10^{4.5} = 2\sqrt{2}\times 10^{4.5}
$$
更精确：
$$
\sqrt{8\times 10^9} = \sqrt{8}\times 10^{4.5} = 2\sqrt{2}\times 31622.7766 \approx 89442.7
$$
因此：
$$
s_1 = \frac{-100000 + 89442.7}{10} \approx -1055.73
$$
$$
s_2 = \frac{-100000 - 89442.7}{10} \approx -18944.27
$$
第三步：利用初始条件确定常数
初始条件：
$t=0$时，$u_C(0^+) = E = 20\,\mathrm{V}$，
且电感电流不能突变，开关拨向B瞬间 $i(0^+) = 0$，即：
$$
\left.\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}\right|_{t=0^+} = \frac{i(0^+)}{C} = 0
$$
通解：
$$
u_C(t) = A_1 e^{s_1 t} + A_2 e^{s_2 t}
$$
由 $u_C(0) = 20$：
$$
A_1 + A_2 = 20
$$
由导数条件：
$$
s_1 A_1 + s_2 A_2 = 0
$$
解得：
$$
A_2 = - \frac{s_1}{s_2} A_1
$$
代入第一式：
$$
A_1 - \frac{s_1}{s_2} A_1 = 20
$$
$$
A_1\left(1 - \frac{s_1}{s_2}\right) = 20
$$
$$
A_1 = \frac{20}{1 - \frac{s_1}{s_2}} = \frac{20 s_2}{s_2 - s_1}
$$
代入数值：
$$
s_2 - s_1 \approx -18944.27 + 1055.73 = -17888.54
$$
$$
A_1 = \frac{20 \times (-18944.27)}{-17888.54} \approx \frac{-378885.4}{-17888.54} \approx 21.18
$$
$$
A_2 = 20 - A_1 \approx -1.18
$$
第四步：写出电压与电流表达式
电压：
$$
u_C(t) \approx 21.18 e^{-1055.73 t} - 1.18 e^{-18944.27 t} \quad (\mathrm{V})
$$
电流：
$$
i(t) = C\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}
= 0.5\times 10^{-6} \left(21.18 \times (-1055.73) e^{-1055.73 t} - 1.18 \times (-18944.27) e^{-18944.27 t}\right)
$$
计算系数：
$$
21.18 \times (-1055.73) \approx -22360.5
$$
$$
-1.18 \times (-18944.27) \approx 22354.2
$$
因此：
$$
i(t) = 0.5\times 10^{-6} \left( -22360.5 e^{-1055.73 t} + 22354.2 e^{-18944.27 t} \right)
$$
$$
i(t) \approx -0.01118 e^{-1055.73 t} + 0.011177 e^{-18944.27 t} \quad (\mathrm{A})
$$
最终答案：
$$
\boxed{u_C(t) \approx 21.18 e^{-1055.73 t} - 1.18 e^{-18944.27 t}\ \mathrm{V}}
$$
$$
\boxed{i(t) \approx -0.01118 e^{-1055.73 t} + 0.01118 e^{-18944.27 t}\ \mathrm{A}}
$$
难度：★★☆☆☆
（涉及二阶电路过阻尼求解，计算稍繁，但思路固定，属中等偏易）