同济高数 第7章 第7-9-5题
📝 题目
5．$x^{2} y^{\prime \prime}+x y^{\prime}-4 y=x^{3}$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们要求解欧拉型非齐次线性微分方程：
$$
x^{2} y^{\prime \prime}+x y^{\prime}-4 y=x^{3}
$$
第一步：化为标准欧拉方程形式
方程已经是
$$
x^{2} y'' + x y' - 4 y = x^{3}
$$
对应齐次方程为
$$
x^{2} y'' + x y' - 4 y = 0
$$
第二步：求解齐次方程的通解
设 $y = x^{r}$，则
$$
y' = r x^{r-1}, \quad y'' = r(r-1) x^{r-2}
$$
代入齐次方程：
$$
x^{2} \cdot r(r-1) x^{r-2} + x \cdot r x^{r-1} - 4 x^{r} = 0
$$
化简：
$$
r(r-1) x^{r} + r x^{r} - 4 x^{r} = 0
$$
$$
\big[ r(r-1) + r - 4 \big] x^{r} = 0
$$
即
$$
r^{2} - 4 = 0 \quad\Rightarrow\quad r = \pm 2
$$
因此齐次通解为
$$
y_h = C_{1} x^{2} + C_{2} x^{-2}
$$
第三步：求非齐次方程的一个特解
用常数变易法或待定系数法。由于非齐次项是 $x^{3}$，且 $3$ 不是特征根 $ \pm 2$，可设特解形式
$$
y_p = A x^{3}
$$
计算：
$$
y_p' = 3A x^{2}, \quad y_p'' = 6A x
$$
代入原方程：
$$
x^{2} (6A x) + x (3A x^{2}) - 4 (A x^{3}) = x^{3}
$$
$$
6A x^{3} + 3A x^{3} - 4A x^{3} = (6A+3A-4A)x^{3} = 5A x^{3}
$$
令 $5A = 1$，得 $A = \displaystyle{}\frac{1}{5}$。
所以特解
$$
y_p = \frac{1}{5} x^{3}
$$
第四步：写出通解
$$
y = y_h + y_p = C_{1} x^{2} + C_{2} x^{-2} + \frac{1}{5} x^{3}
$$
最终答案
$$
\boxed{y = C_{1} x^{2} + C_{2} x^{-2} + \frac{1}{5} x^{3}}
$$
难度：★★☆☆☆
（属于标准欧拉方程类型，步骤固定，计算简单，但需注意特征根求解与待定系数法）