同济高数 第7章 第7-9-4题
📝 题目
4．$x^{2} y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+2 y=\ln ^{2} x-2 \ln x$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
这是欧拉型微分方程，先作变量代换：令 $ x = e^t $，则 $ t = \ln x $，并且有
$$
x y' = \frac{dy}{dt}, \quad x^2 y'' = \frac{d^2 y}{dt^2} - \frac{dy}{dt}.
$$
代入原方程：
$$
x^2 y'' - 2x y' + 2y = \left( \frac{d^2 y}{dt^2} - \frac{dy}{dt} \right) - 2 \frac{dy}{dt} + 2y = \frac{d^2 y}{dt^2} - 3 \frac{dy}{dt} + 2y.
$$
右边变为：
$$
\ln^2 x - 2 \ln x = t^2 - 2t.
$$
于是原方程化为常系数线性微分方程：
$$
y''(t) - 3 y'(t) + 2 y(t) = t^2 - 2t.
$$
---
第一步：求齐次解
特征方程：
$$
r^2 - 3r + 2 = 0 \quad\Rightarrow\quad (r-1)(r-2)=0,
$$
解得 $ r_1 = 1, r_2 = 2 $。
齐次通解：
$$
y_h(t) = C_1 e^{t} + C_2 e^{2t}.
$$
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第二步：求特解
右边是二次多项式 $ t^2 - 2t $，设特解形式：
$$
y_p(t) = A t^2 + B t + C.
$$
求导：
$$
y_p' = 2A t + B, \quad y_p'' = 2A.
$$
代入方程：
$$
2A - 3(2A t + B) + 2(A t^2 + B t + C) = t^2 - 2t.
$$
整理：
$$
2A - 6A t - 3B + 2A t^2 + 2B t + 2C = t^2 - 2t.
$$
按幂次合并：
- $ t^2 $ 项：$ 2A = 1 \Rightarrow A = \frac12 $
- $ t $ 项：$ -6A + 2B = -2 \Rightarrow -3 + 2B = -2 \Rightarrow 2B = 1 \Rightarrow B = \frac12 $
- 常数项：$ 2A - 3B + 2C = 0 \Rightarrow 1 - \frac32 + 2C = 0 \Rightarrow -\frac12 + 2C = 0 \Rightarrow C = \frac14 $
所以特解：
$$
y_p(t) = \frac12 t^2 + \frac12 t + \frac14.
$$
---
第三步：写出通解并回代
通解：
$$
y(t) = C_1 e^{t} + C_2 e^{2t} + \frac12 t^2 + \frac12 t + \frac14.
$$
回代 $ t = \ln x $，且 $ e^{t} = x, e^{2t} = x^2 $：
$$
y(x) = C_1 x + C_2 x^2 + \frac12 \ln^2 x + \frac12 \ln x + \frac14.
$$
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最终答案：
$$
\boxed{y = C_1 x + C_2 x^2 + \frac12 \ln^2 x + \frac12 \ln x + \frac14}
$$
难度：★★☆☆☆