同济高数 第7章 第7-9-3题
📝 题目
3．$x^{3} y^{\prime \prime \prime}+3 x^{2} y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+2 y=0$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
这是欧拉型常微分方程，形式为
$$
x^{3} y''' + 3x^{2} y'' - 2x y' + 2y = 0
$$
我们采用变量代换法：令 $ x = e^{t} $，即 $ t = \ln x $，并设 $ y(x) = y(e^{t}) = Y(t) $。
则
$$
y' = \frac{dy}{dx} = \frac{dY}{dt} \cdot \frac{dt}{dx} = \frac{1}{x} \dot{Y}
$$
其中 $\dot{Y} = \frac{dY}{dt}$。
$$
y'' = \frac{d}{dx}\left( \frac{1}{x} \dot{Y} \right) = -\frac{1}{x^{2}} \dot{Y} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d\dot{Y}}{dx}
$$
而
$$
\frac{d\dot{Y}}{dx} = \frac{d\dot{Y}}{dt} \cdot \frac{dt}{dx} = \frac{1}{x} \ddot{Y}
$$
所以
$$
y'' = -\frac{1}{x^{2}} \dot{Y} + \frac{1}{x^{2}} \ddot{Y} = \frac{1}{x^{2}} (\ddot{Y} - \dot{Y})
$$
再求三阶导：
$$
y''' = \frac{d}{dx}\left( \frac{1}{x^{2}} (\ddot{Y} - \dot{Y}) \right)
= -\frac{2}{x^{3}} (\ddot{Y} - \dot{Y}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{dx}(\ddot{Y} - \dot{Y})
$$
而
$$
\frac{d}{dx}(\ddot{Y} - \dot{Y}) = \frac{d}{dt}(\ddot{Y} - \dot{Y}) \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x} (\dddot{Y} - \ddot{Y})
$$
所以
$$
y''' = -\frac{2}{x^{3}} (\ddot{Y} - \dot{Y}) + \frac{1}{x^{3}} (\dddot{Y} - \ddot{Y})
= \frac{1}{x^{3}} \left( \dddot{Y} - 3\ddot{Y} + 2\dot{Y} \right)
$$
代入原方程：
$$
x^{3} \cdot \frac{1}{x^{3}} (\dddot{Y} - 3\ddot{Y} + 2\dot{Y})
+ 3x^{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} (\ddot{Y} - \dot{Y})
- 2x \cdot \frac{1}{x} \dot{Y}
+ 2Y = 0
$$
化简得：
$$
\dddot{Y} - 3\ddot{Y} + 2\dot{Y} + 3\ddot{Y} - 3\dot{Y} - 2\dot{Y} + 2Y = 0
$$
即
$$
\dddot{Y} + ( -3 + 3 )\ddot{Y} + (2 - 3 - 2)\dot{Y} + 2Y = 0
$$
$$
\dddot{Y} - 3\dot{Y} + 2Y = 0
$$
这是常系数三阶线性齐次方程，特征方程为
$$
r^{3} - 3r + 2 = 0
$$
试根 $ r = 1 $：
$$
1 - 3 + 2 = 0
$$
所以 $ (r-1) $ 是因子，做多项式除法：
$$
r^{3} - 3r + 2 = (r-1)(r^{2} + r - 2) = (r-1)(r-1)(r+2) = (r-1)^{2}(r+2)
$$
特征根为 $ r = 1 $（二重根），$ r = -2 $。
因此通解为
$$
Y(t) = (C_{1} + C_{2} t) e^{t} + C_{3} e^{-2t}
$$
代回 $ t = \ln x $，得
$$
y(x) = (C_{1} + C_{2} \ln x) x + C_{3} x^{-2}
$$
最终答案：
$$
\boxed{y = C_{1} x + C_{2} x \ln x + \frac{C_{3}}{x^{2}}}
$$
难度：★★☆☆☆